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第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

学习目标：1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．等比数列前n项和的变式

a11－qna1a1n当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·q＋，设A1－q1－q1－q＝

a1

1－q，上式可写成Sn＝－Aq＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一

n个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．

思考：在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3[提示] 由题{an}是等比数列， ∴3的系数与常数项互为相反数， 11n而3的系数为，∴k＝－.

332．等比数列前n项和的性质

性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aq－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列． 性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N)，则②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．

思考：在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求S6的值？ [提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.

[基础自测]

1．思考辨析

(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.( ) (2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3

n－1

*

n－1

＋k，则实数k的取值是什么？

nnS偶

＝q. S奇

－1，则a＝1.( )

(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．( ) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 提示：(1)

S偶12011

＝q＝＝；(2)由等比数列前n项和的特点知a＝1得a＝3；(4)由S3，S6－S3，S9－S6成等S奇24023

比数列知(4)错误．

2．已知数列{an}为等比数列，且前n项和S3＝3，S6＝27，则公比q＝________. 2 [q＝

3

S6－S327－3

＝＝8，所以q＝2.] S33

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21

3．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.

33

【导学号：91432227】

(－2)

n－1

21

[当n＝1时，S1＝a1＋，所以a1＝1.

33

1?21?2

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－?an－1＋?

3?33?32an＝(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即＝－2， 3an－1所以{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2， 所以an＝1×(－2)

n－1

，即an＝(－2)

n－1

.]

4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.

35 [设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1

＝2×21－7＝35，即a5＋b5＝35.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

等比数列前n项和公式的函数特征应用

已知数列{an}的前n项和Sn＝a－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}( )

【导学号：91432228】

A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 B [当n≥2时，

nan＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；

当n＝1时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·a∴

n－1

，n∈N.

*

an＋1

＝a， an∴数列{an}是等比数列．] [规律方法] （1）已知Sn通过an＝??S1，n＝1，???Sn－Sn－1，n≥2 求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1. （2）若数列{an}的前n项和Sn＝A[跟踪训练] qn－1，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝31

－ [显然q≠1， 3

n－1

＋t，则t＝________.

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此时应有Sn＝A(q－1)， 1n又Sn＝·3＋t，

31

∴t＝－.]

3

等比数列前n项和性质的应用

[探究问题]

1．在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？

提示：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{an}中有am＋n＝amq， ∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，

nnS2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.

同理S3m－S2m＝Sm·q，…，

在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．

2．若数列{an}为项数为偶数的等比数列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4＋a6＋…，那么提示：由等比数列的通项公式可知

2mS偶

等于何值？ S奇

S偶S奇·q＝＝q. S奇S奇

(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( ) A．28 B．32 C．21 D．28或－21

(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________

【导学号：91432229】

思路探究：(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解． (2)利用S偶

＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解． S奇

(1)A (2)24 [(1)∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7,91－S4成等比数列，

∴(S4－7)＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q＋a2q ＝(a1＋a2)(1＋q)＝S2(1＋q)>S2，∴S4＝28. (2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，

2

2

2

2

2

S1

S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2.

S2

4

又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24.

3