4、（6分）设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则limn?men?0.

n

5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意??0，存在闭子集F??E，使f(x)在F?上连续，且m(E?F?)??，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

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试卷一 答案：

试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D

二、1．? 2、?0,1?； ? ； ?0,1? 3、m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)

?n?4、充要 5、??|f(xi)?f(xi?1)|?成一有界数集。

?i?1?三、1．错误……………………………………………………2分

例如：设E是?0,1?上有理点全体，则E和CE都在?0,1?中稠密 ………………………..5分

2．错误…………………………………………………………2分 例如：设E是Cantor集，则mE?0，但E?c ， 故其为不可数集 ……………………….5分 3．错误…………………………………………………………2分

??x,x?E;例如：设E是?a,b?上的不可测集，f(x)??

???x,x??a,b??E;则|f(x)|是?a,b?上的可测函数，但f(x)不是?a,b?上的可测函数………………………………………………………………..5分

4．错误…………………………………………………………2分

mE?0时，对E上任意的实函数f(x)都有?f(x)dx?0…5分

E四、1．f(x)在?0,1?上不是R?可积的，因为f(x)仅在x?1处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分

因为f(x)是有界可测函数，f(x)在?0,1?上是L?可积的…6分 因为f(x)与x2a.e.相等，进一步，??0,1?11f(x)dx??x2dx?…8分

03（第6页，共18页）

ln(x?n)?xecosx，则易知当n??时，fn(x)?0 n …………………………..2分 2．解：设fn(x)??lnt?1?lnt又因???2?0，(t?3)，所以当n?3,x?0时，

tt??ln(x?n)n?xln(x?n)n?xln3ln3???(1?x)………………4分 nnx?nn33ln3从而使得|fn(x)|?(1?x)e?x…………………………………6分

3但是不等式右边的函数，在?0,???上是L可积的，故有

lim?fn(x)dx??limfn(x)dx?0…………………………………8分

n00n??'五、1．设E?[0,1],A?E?Q,B?E\\(E?Q).

QB是无限集，??可数子集M?B …………………………2分 QA是可数集，?A?M:M. ……………………………….3分 QB?M?(B\\M),E?A?B?A?M?(B\\M),且(A?M)?(B\\M)??,M?(B\\M)??,…………..5分

?E:B,?B?c.………………………………………………6分 2．?x?E?,则存在E中的互异点列{xn},使limxn?x……….2分

n??Qxn?E,?f(xn)?a………………………………………….3分

Qf(x)在x点连续，?f(x)?limf(xn)?a

n???x?E…………………………………………………………5分

?E是闭集.…………………………………………………….6分

3.

n对??1，???0，使对任意互不相交的有限个(ai,bi)?(a,b)

n当?(bi?ai)??时，有?f(b)i?f(ai)?1………………2分

i?1i?1（第7页，共18页）

将[a,b]m等分，使

k?x?xii?1ni?1??，对?T:xi?1?z0?z1?L?zk?xi，有

?i?1f(zi)?f(zi?1)?1，所以

f(x)在[xi?1,xi]上是有界变差函

数……………………………….5分 所以

V(f)?1,xi?1xi从而

V(f)?mab，因此，f(x)是[a,b]上的有界变差函

数…………………………………………………………..6分 4、f(x)在E上可积?limmE(|f|?n)?mE(|f|???)?0……2分

n??据积分的绝对连续性，

e???0,???0,?e?E,me??，有

?|f(x)|dx??………………………………………………….4分

对上述??0,?k,?n?k,mE(|f|?n)??，从而n?men??|f(x)|dx??，即

enlimn?men?0…………………6分

n1,f(x)2n续………………………………………………………………2分 5

．

?n?N,存在闭集

Fn?E,m?E?Fn??在

Fn连

令

F?UIFnk?1n?k??，则

?x?F??k,x??Fn,?n?k,x?Fn?f(x)n?k?在F连

续…………………………………………………………4分 又对任意k,m?E?F??m[E?(?Fn)]?m[?(E?Fn)]

n?kn?k????m(E?Fn)?n?k?1…………………………………………….6分 2k故m(E?F)?0,f(x)在F?E连续…………………………..8分 又m(E?F)?0,所以f(x)是E?F上的可测函数，从而是E上的 可测函数………………………………………………………..10分

（第8页，共18页）