空间向量的应用教学设计

钟山中学 徐玉学

一、 教材内容分析：

在空间直角坐标系中引入空间向量，是解决立体几何中图形的大小及位置关系等问题的一种理想的代数工具，使我们能用代数的观点和方法解决几何问题，用精确计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度，提高学生的学习效率。 二、 学生学情分析：

学生已经学习了空间向量的相关概念和性质，对空间向量知识有了一定的了解，所以课堂上可以多组织学生参与教学，通过自主探究主动发现应用空间向量解决距离问题的途径。但是由于学生对向量数量积的几何意义的理解并不透彻，所以在实际教学中需要多加启发和引导。 三、教学目标： （一）知识与技能

1.掌握空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离公式； 2.理解运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的方法。 （二）过程与方法

1.体验运用空间向量推导点到平面的距离和两平行平面的距离公式的过程； 2.体验运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的过程。 （三）情感态度与价值观

1.通过运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的学习过程，让学生体会立体几何问题代数化的转化思想，认识到运用空间向量解决立体几何问题的优越性。

2.培养学生理解和运用知识的能力以及代数运算能力。

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四、教学重点、难点

重点：运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离 难点：1.理解点到平面的距离与向量投影的关系； 2.转化思想的理解与运用。 五、教学策略

在学生已有知识的基础上，通过引导和启发，组织学生进行自主探究，在探究过程中建构起空间距离与空间向量的联系，达到利用空间向量解决距离问题的目的。 六、教学过程

B （一）知识回顾 ?b????1.已知向量a、b,其夹角?a,b???，则

?????a?b??a?b?|a|?|b|cos?,cos????

?'|a|?|b|aBO ?????a?b的几何意义是|a|与b在a方向上的投影的乘积 ???b在a方向上的投影OB′=|b|cos?

??2. a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2) ??a?b=x1x2+y1y2+z1z2 ????a?b?a?b?0

??3.如果非零向量n⊥平面?，则称n为平面?的一个法向量。

（二）新课教学 空间距离的向量解法 探究1：点到平面的距离

如图，AB是平面?的一条斜线，A为斜

B A · ?n?足，n是平面?的一个法向量，如何求点B到平面?的距离d？

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θ d ?A B' ?|AB?n|学生合作探究，推导点到平面的距离的向量公式d? ?|n|?解析：设向量AB和法向量n的夹角为?，则d?||AB|?cos?|

??|AB?n|AB?n ?d?|AB|??，即d??|n||n|例1 如图，ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=CD=2,AD=22，M、N分别是 AD和PB的中点，求点A到平面MNC的距离。 解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz P 则A(22,0,0),M(2,0,0),N(2,1,1),C(0,2,0) ∴MC?(?2,2,0),MN?(0,1,1),MA?(2,0,0)

M ?设平面MNC的一个法向量为n?(x,y,z) A x ??n?MC??2x?2y?0则??令x?2,得y?1,z??1 ?n?MN?y?z?0??n?(2,1,?1)

?MA?n2?2∴点A到平面MNC的距离d???1 ?n2z N D C y B 如果用传统几何法，你会解吗？（引导学生用等体积法求解） 探究2：两个平行平面间的距离

?如图，平面?//?，直线l分别与平面?和?交于A、B两点，n是平面?的一个法向量，如何求平面?和?间的距离？ 解析：将两个平行平面间的距离转化为

l?n点B到平面?的距离，

?|AB?n|所以d? ?|n|

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