一元一次方程
【培优图解】
【技法透析】
1．一元一次方程的有关概念
(1)方程：含有未知数的等式叫方程：由方程的定义可知：判断一个数学式子是否为方程，只需要看它是否具备以下两个条件：①这个式子必须是等式，②这个等式中必须含有未知数，这两个条件缺一不可，否则就不是方程．方程必是等式，但等式不一定是方程． (2)方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫方程的解．
(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．“解方程”是指确定方程的解的过程，也就是把方程进行变形的过程，因此，“解方程”与“方程的解”是两个完全不同的概念．
(4)一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数为1，这样的方程叫一元一次方程，判断一个方程是不是一元一次方程，必须具备以下三个条件：①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数为1，且系数不为0．如方程x－
2?3是分式方程x而不是整式方程，方程3x－2y＝1中含有两个未知数，方程2x－5＝x＋1中未知数的最高次数为2（次），因此，这三个方程都不是一元一次方程．像方程5x－3＝5（x－1），从表面上看，好像是一元一次方程，其实经过化简后这个方程变为－3＝－5，就不是一元一
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次方程；而像方程x－2x－3＝x＋5，表面上看它是一元二次方程，其实经过化简后，这个方程变为－2x＝8，所以实际上它是一元一次方程．
2．等式的性质
(1)等式的性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得的结果仍是等式，即：如果a＝b，则a±c＝b±c．
(2)等式的性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数所得的结果仍是
2
ab
?．(c≠0) cc
3．解一元一次方程的一般步骤
(1)去分母：即在方程的左、右两边都乘以各分母的最小公倍数，去公母的依据是等式的性质2．去分母时要防止漏乘不含分母的项，同时要把分子（如果含几项）作为一个整体用括号括起来，以及分母约分后“1”省略不写．
(2)去括号：去括号的依据是去括号法则及乘法分配律．去括号时先要分清括号前是“＋”还是“－”号，不要弄错符号，还要防止漏乘括号里后面的项．
(3)移项：移项是解方程常用的一种变形．移项的依据是等式的性质．一般是把含有未知数的项移到方程的左边，把不含未知数的项都移到方程的右边．注意移项一定要变号． (4)合并同类项：运用合并同类项法则，将方程化为ax＝b(a≠0)的形式．合并同类项的依据是乘法分配律．
b (5)系数化为1：即在方程左、右两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为x＝．系
a数化为1的依据是等式的性质2，它是解一元一次方程的最后_步变形，经过系数化为1的变形就可以求出未知数的值，从而得到一元一次方程的解．在系数化为1时，两数相除不要写反了，要明确哪个是被除数，哪个是除数，不要颠倒了．
在解方程时，需要我们既要学会按部就班（严格按步骤），又要能随机应变（可根据方程的结构特征灵活打乱步骤）．
4．含字母系数的一元一次方程
含字母系数的一元一次方程总可以化为：ax＝b的形式．当字母a、b的取值范围未给出时，则要讨论解的情况，其方法是：
b (1)当a≠0时，方程有唯一解，即x＝
a (2)当a＝0，b＝0时，方程有无数个解；
(3)当a＝0，b≠0时，方程无解． 5．解一元一次方程的常用技巧
(1)有多重括号时，去括号与合并同类项可交替进行： (2)当括号内含有分数时，常由外向内去括号再去分母； (3)当分母中含有小数时，先用分数的基本性质化为整数；
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作是一个整体进行变形． 6．列方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意，即弄清题目中已知什么，要求什么，明确各个数量之间是什么关系． (2)找相等关系，要善于从应用题中发现直接的或隐含的表示已知数和未知数全部含
等式．即：如果a＝b，则ac＝bc，
义的相等关系．
(3)设未知数，并列出相应的数量关系的表达式，设未知数有直接设法与间接设法． (4)列方程，将相等关系转化为方程．
(5)解方程，求出所列方程的解，求解的过程可以简化．
(6)检验并作答，检验所解得的方程的解是否符合题意或实际问题，最后再作答．“设”与“答”要带单位，且单位要统一．
【名题精讲】
考点1 利用一元一次方程的定义解题 例1 已知方程（m－2）xm?1＋16＝0是关于x的一元一次方程．求m的值和方程的
解．
【切题技巧】 由一元一次方程的定义可知：关于x的一元一次方程的条件是只含有一个未知数，未知数的次数为1且其系数不为0，于是应有：
m－2≠0，m?1?1．从而可求得m的值及相应的方程的解． 【规范解答】
【借题发挥】 一元一次方程必须同时满足以下三个条件：①必须是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的次数为1且系数不为0，利用定义法解题是数学解题的一种方法，从本质上说，数学中的定理、公式、法则和性质等，都是由定义和公理推演出来的．巧用定义法解题必须对定义有透彻的理解．
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【同类拓展】 1．已知(m－1)x－(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程． (1)求代数式200(m＋x)（x－2m）＋10m的值． (2)求关于y的方程my?1＝x的解． 考点2 一元一次方程的解法
3?2?111??例2 解方程??x?1??2??2?x．
2?3?422??323互为倒数，×2是整数，故解此方程时先不急于去分母，232而应先去中括号，再去小括号计算较简便．
观察方程结构特征：与
11?1?【规范解答】 去中括号得：?x?1??3?2?x
22?4?