图 1-1

cos2??cos2??cos2??1 三、 位移和路程

1、位移?r?r2?r1（矢量） 2、路程（标量） 四、 速度和速率

为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。 1、平均速度 如图1-2

????r?x??y???i?j?xi?yj ?t?t?t

称为t?t??t时间间隔内质点的平均速度。 ? ?r

定义：? ?t图 1-2 ?

方向：同?r方向。

说明：与时间间隔(t?t??t)相对应。 2、瞬时速度

粗略地描述了质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。 ???rdr??

v?limv?lim?

?t?0?t?0?tdt 定义： ?

v称为质点在t时刻的瞬时速度，简称速度。 ?

?drv? dt

结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。 ????drdx?dy?v??i?j?vxi?vyj dtdtdt vx? 式中?

v的大小： dydx

vy??dt ，dt 。 vx、vy分别为v在x、y轴方向的速度分量。 22?

dydx?dr????22 v????????vx?vy dt?dt??dt? vy??

。 v的方向：所在位置的切线向前方向。v与x正向轴夹角满足tg?? vx

3、平均速率与瞬时速率 ?

定义：

?st?t??t内路程

??t?t（参见图1-2）

称为质点在t?t??t时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。 v?lim?lim 定义： ?t?0 ?sds ?

?t?0?tdt

称v为t时刻质点的瞬时速率，简称速率。 ???dr?ds

当?t?0时（参见图1-3），?r?dr，?s?ds，有 ?? dsdrdr?v????v dtdtdt可知： ?dsv?v? dt 即

结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。 说明：⑴比较与：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。 ?

⑵比较v与v：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。 五、 加速度

为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。 1、平均加速度 ???

?vv2?v1??

?t?t（见图1-3） 定义：

称为t?t??t时间间隔内质点的平均加速度。 2、瞬时加速度 为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。 ???vdv?a?lim?lim? ?t?0?t?0?tdt 定义： ?

a称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。 ???dvd2ra?? dtdt

结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。 ?

?dvdvx?dvy?d2x?d2y?a??i?j?2i?2j dtdtdtdtdt

dvyd2ydvxd2x

ay??2ax??2?ayadtadtxdtdt式中： ，。、分别称为在x、y轴上的分量。

?dvy?dvx??22

a?ax?ay??????dt??dt??a的大小： ??

a的方向： a与x轴正向夹角满足 2

??d2y??d2x?????dt2?????dt2??? ???? ? 222 tg?? ayax ???

aav说明：沿的极限方向，一般情况下与v方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。 ???

综上所述：瞬时量：r，v，v，a ?过程量：?r，v，，a ????

矢量：r，?r，，v，，a 标量：?s，，v

1-3 描述质点运动的坐标系 一、 直角坐标系

在参考点上取一固定点作为坐标原点o，过点o画三个相互垂直的带有刻度的坐标轴，即x轴、y轴和z轴，这就构成了直角坐标系

oxyz。通常采用右手制，也就是右旋系：当右手四指由x轴方向转向y轴方向时，伸直的拇指方向则是z轴的正方向。

例1如图1-4所示，河岸上有人在h高处通过定滑轮以速度v0收绳拉船靠岸。求船在距岸边为x处时的速度和加速度。 解1： 22

l2?h2?x2；x?l?h

dxdxdllx2?h2v???????v0???v0 dtdldtxx 2222

hv0dvd?l?x?l

a????v0???v0??v?? dtdt?x?lx2x3 解2：

lv0x2?h2dldx v????v02l?2x

xxdtdt；?lv0?xv； dldxdvv02?v2h2v02 ?v0?v?xa? ??22

xdtdtdt；v0?v?xa；x 平面极坐标系

在参考系上一固定点o作极点，过极点作一条固定的射线oa称为极轴。过极轴作平面，假定质点就在该平面内运动。 1．角位置 ???(t) 2．角速度 ?? d? dt

3．角加速度 d?d2???? dtdt2

4．路程和角位置的关系 s?r?

5．速率和角速度的关系 dvat??r? dt6．切向加速度 v? ds

?r?dt v2

an??v??r?2

r法向加速度

三、自然坐标系

图2-1中，bac为质点轨迹，t时刻质点p位于a 点，et、en分别为a点切向及法向的单位矢量，以a为 原点，et切向和en法向为坐标轴，由此构成的参照系为自 ?? ??

然坐标系（可推广到三维） 1、切向加速度

如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质 点速度 ? en ?

et(切向） a ,t

??v?vet 其中， 图 1-6 ?v?v

为速率。加速度为 ??

det?dvdv? a??et?v dtdtdt

?e上式中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与t共线，称该项为切向加速度，记 为

?dv??

at?et?atet dt

其中，