第1讲 绝对值不等式

一、知识梳理 1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 |x|a a>0 {x|－aa或x<－a} a＝0 ? {x|x∈R且x≠0} a<0 ? R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c． 常用结论

1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系： (1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立．

(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．

2．解绝对值不等式的两个要点

(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．

(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，

并起来”．

二、教材衍化

1．求不等式3≤|5－2x|<9的解集．

????|2x－5|<9，?－9<2x－5<9，?－2

解：由题意得?即?解得?不等式的

???|2x－5|≥3，2x－5≥3或2x－5≤－3，x≥4或x≤1，???

解集为(－2，1]∪[4，7)．

2．求不等式|x＋1|＋|x－2|≤5的解集．

?x<－1，?－1≤x≤2，??

解：不等式|x＋1|＋|x－2|≤5，等价于?或?或

??－x－1－x＋2≤5x＋1－x＋2≤5????x>2，

?解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}． ?x＋1＋x－2≤5，?

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为?.( )

(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、易错纠偏

常见误区(1)解集中等号是否成立不注意； (2)含参数的绝对值不等式讨论不清． 1．不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集．

???x≤1，?1

解： 不等式等价于?或?或?解得0≤x≤5，故不等式|x－

?2－2x≤2??0≤2?2x－8≤2，??

4|＋|x－1|－3≤2的解集为[0，5]．

2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，求实数k的值．

解：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.

含绝对值不等式的解法(师生共研)

(2020·安徽安庆质量检测)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x， 由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0， 当x>1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解； 11

当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；

2211当x<－时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－.

22所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．

?x≥a，?x

(2)由|x－a|＋3x≤0，可得?或?

??4x－a≤02x＋a≤0，??

x≥a，?x

即?a或?a

x≤x≤－.??2?4?

当a>0时，不等式的解集为{x|x≤－}．

2由－＝－1，得a＝2.

2

当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．

??a???. x≤当a<0时，不等式的解集为x?4???

aa由＝－1，得a＝－4.

4综上，a＝2或a＝－4.

含绝对值不等式解法的常用方法

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