2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年山东，文1，5分】设集合U??1,2,3,4,5,6?,A??1,3,5?,B?{3,4,5}，则eU(AUB)?（ ）

（A）?2,6? （B）?3,6? （C）?1,3,4,5? （D）?1,2,4,6? 【答案】A

4,5}，e【解析】AUB={1,3，U(AUB)={2,6}，故选A．

【点评】考查集合的并集及补集运算，难度较小．

2（2）【2016年山东，文2，5分】若复数z?，其中i为虚数单位，则z?（ ）

1?i（A）?2i （B）2i （C）?2 （D）2 【答案】B

22(1?i)【解析】z?=?1?i，z?1?i，故选B．

1?i2【点评】复数的运算题目，考察复数的除法及共轭复数，难度较小． （3）【2016年山东，文3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小

时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是?17.5,30?，样本

数据分组为?17.5,20?，?20,22.5?，?22.5,25?，?25,27.5?，?27.5,30?．根据直方图，

这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（ ） （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D

【解析】由图可知组距为2．5，每周的自习时间少于22．5小时的频率为(0.02?0.1)?2.5?0.30， 所以，每周自习时间不少于22．5小时的人数是200??1?0.30??140人，故选D． 【点评】频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小．

?x?y?2?（4）【2016年山东，文4，5分】若变量x，y满足?2x?3y?9，则x2?y2的最大值是（ ）

?x?0?（A）4（B）9（C）10（D）12

【答案】C

【解析】由x2?y2是点?x,y?到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点?0,2?,?0,?3?,?3,?1?，

所以?3,?1?是最优解，x2?y2的最大值是10，故选C．

（5）【2016年山东，文5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该

几何体的体积为（ ）

1212122??? （D）1?? （A）?? （B）?（C）33 36633【答案】C

【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，体积为

14231121?1?1?+?（）?=+?，故选C．

332236【点评】考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，难度较小． （6）【2016年山东，文6，5分】已知直线a,b分别在两个不同的平面?，?内，则“直线a和直线b相交”是“平

面?和平面?相交”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】若直线相交，一定有一个交点，该点一定同时属于两个平面，即两平面相交，所以是充分条件；两平面

相交，平面内两条直线关系任意（平行、相交、异面），即充分不必要条件，故选A．

1

（7）【2016年山东，文7，5分】已知圆M:x2?y2?2ay?0?a?0?截直线x?y?0所得线段的长度是22，则圆M与圆N:(x?1)2+(y?1)2=1的位置关系是（ ）

（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）相离 【答案】B

【解析】圆M:x2?y2?2ay?0?a?0?化成标准形式x2?(y?a)2?a2(a?0)

解法1：圆心(0, a)到直线x?y?0的距离为d?a?a?2，由勾股定理得???2?a， 2?2?2解得a??2,?a?0,?a?2，圆M与圆N:(x?1)2+(y?1)2=1的圆心距为(1?0)2?(1?2)2?2，圆M半 径R1?2，圆N半径R2?1,?R1?R2?2?R1?R2,?圆M与圆N相交，故选B．

解法2：直线x?y?0斜率为?1，倾斜角为135?，可知BM?OB?2,?OM?a?2，B点坐标为??1,1?，

即为圆N的圆心．圆心在圆M中，且半径为1，即两圆相交，故选B．

（8）【2016年山东，文8，5分】?ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知b?c，a2?2b2(1?sinA)，则A

=（ ）

??3??（A） （B） （C） （D）

4436【答案】C

【解析】?a2?2b2(1?sinA),?b2?c2?2bccosA?2b2(1?sinA),又?b?c，?2b2?2b2cosA?2b2(1?sinA)，

??cosA?sinA，在?ABC中，A?(0,?),?A?，故选C．

4（9）【2016年山东，文9，5分】已知函数f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?x3?1；当?1?x?1时，1?1?1??时，f?x???f?x??，则f?6??（ ）

2?2?2??（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2 【答案】D

1?1?1??【解析】由f?x???f?x??，知当x?时，f?x?的周期为1，所以f?6??f?1?．又当?1?x?1时，

2?2?2??f(?x)??f(x)；当x?3?1??1??2，故选D． f??x???f?x?，所以f?1???f??1?．于是f?6??f?1???f??1???????（10）【2016年山东，文10，5分】若函数y?f?x?的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相

垂直，则称y?f?x?具有T性质．下列函数具有T性质的是（ ）

（A）y?sinx （B）y?lnx （C）y?ex （D）y?x3

【答案】A

【解析】因为函数y?lnx，y?ex的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数y?x3的图象上任何一点的切

线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T性质，故选A．

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分． （11【）2016年山东，文11，5分】执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为 ． 【答案】1

【解析】根据题目所给框图，当输入n?3时，依次执行程序为：i?1,S?0，S?0?2?1=2?1，

i?1?3不成立，i?i?1?2，S?2?1?3?2?3?1，i?2?3不成立，i?i?1?3，

S?3?1?4?3?2?1?1，i?3?3成立，故输出的S的值为1． （12）【2016年山东，文12，5分】观察下列等式：

2??4????sin?sin??1?2 ????3?3?3???2?22

2??3??4??4???????sin???sin???sin???sin???2?3

5?5?5?5?3????2??3??6??4???????sin???sin???sin???????sin???3?4

7?7?7?7?3?????2?2?2?2?2?2?2?22??4?????3???8??sin?sin?sin?????sin??4?5 ????????9?9?9?9?3????……

?2?2?2?2??2??3??2n???????sin???sin???sin???????sin?? ．

2n?12n?12n?12n?1????????4【答案】n?n+1?

3【解析】由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得．

?????（13）【2016年山东，文13，5分】已知向量a??1,?1?，b??6,?4?．若a?ta?b，则实数t的值为 ．

?2?2?2?2??【答案】?5

????????【解析】由已知条件可得ta?b??t?6,?t?4?，又因a?ta+b可得a?ta+b=0，

????即?t?6??1???t?4????1??t?6?t?4?2t?10?0，即得t??5．

x2y2AB,CD（14）【2016年山东，文14，5分】已知双曲线E:2?2?1?a?0,b?0?，若矩形ABCD的四个顶点在E上，

ab的中点为E的两个焦点，且2AB?3BC，则E的离心率为 ．

【答案】2

?3c?c29c2【解析】由题意BC?2c，所以2AB?3BC，于是点?c,?在双曲线E上，代入方程，得2?2?1，

a4b?2?c 在由a2?b2?c2得E的离心率为e??2．

a??x,x?m（15）【2016年山东，文15，5分】在已知函数f?x???2，其中m?0，若存在实数b，使得

??x?2mx?4m,x?m关于x的方程f?x??b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．

【答案】?3,???

【解析】因为g?x??x2?2mx?4m的对称轴为x?m，所以x?m时f?x??x2?2mx?4m单调递增，只要b大于

g?x??x2?2mx?4m的最小值4m?m2时，关于x的方程f?x??b在x?m时有一根；又h?x??x在

存在实数b，使方程f?x??b在x?m时有两个根，只需0?b?m；故只需4m?m2?mx?m，m?0时，

???． 即可，解之，注意m?0，得m?3，故填?3，三、解答题：本大题共6题，共75分．

（16）【2016年山东，文16，12分】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿 指针童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设 两次记录的数分别为x，y．奖励规矩如下：①若xy?3，则奖励玩具一个；②若xy?8，则奖 励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参

1加此活动．

（1）求小亮获得玩具的概率； 43（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

2解：（1）设获得玩具记为事件A，获得水杯记为事件B，获得一瓶饮料记为事件C，转盘转动两次后

获得的数据记为?x,y?，则基本事件空间为?1,1?、 ?1,2?、?1,3?、?1,4?、?2,1?、?2,2?、?2,3?、?2,4?、事件A为?1,1?、共5种， ?3,1?、?3,2?、?3,3?、?3,4?、?4,1?、?4,2?、?4,3?、?4,4?共16种，?1,2?、?1,3?、?2,1?、?3,1?，故小亮获得玩具的概率P(A)?

5． 163

（2）事件B为?2,4?、?3,3?、?3,4?、?4,2?、?4,3?、?4,4?共6种，故小亮获得水杯的概率P(B)?概率P(C)?1?P(A)?P(B)?63?，获得饮料的 1685．因为P(B)?P(C)，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大． 16（17）【2016年山东，文17，12分】设f(x)?23sin(??x)sinx?(sinx?cosx)2．

（1）求f?x?的单调递增区间；

（2）把y?f?x?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移

???个单位，得到函数y?g?x?的图象，求y?g??的值．

?6??3

解：（1） f?x??2sin???x?sinx??sinx?cosx??2sinx?(sinx?cosx?2sinxcosx)?3?3cos2x?sin2x?1

?1?3????sin2x?3cos2x?3?1?2?sin2x?cos2x?3?1?2sin2x?????3?1 ?2?23????????5???2k??2x???2k??k?Z?，??k??x??k??k?Z?， 23212125?????k???k?Z?． 所以单调递增区间为???k?,12?12????（2）经变换g?x??2sinx?3?1，g???3．

?6?（18）【2016年山东，文18，12分】在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF//DB．

（1）已知AB?BC，AE?EC．求证：AC?FB；

（2）已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH//平面ABC． 解：（1）连接ED，?AB?BC，AE?EC．??AEC和?ABC为等腰三角形．

又?D是AC的中点，?ED?AC，BD?AC；?AC?平面EDB．又?EF//DB， A ?平面EDB与平面EFBD为相同平面；?AC?平面EFBD．?FB?平面EFBD； ?AC?FB． （2）取ED中点I，连接IG和IH．在?EDC中I和G为中点；

?IG//CD．?EF//DB；?四边形EFBD为梯形．?I和H分别 为ED和FB中点；?IH//BD．又?IH和IG交与I点，CD与BD 交与D点；?平面GIH//平面BDC．又?GH?平面GIH； ?GH//平面ABC．

（19）【2016年山东，文19，12分】已知数列?an?的前n项和Sn?3n2?8n，

FEHADCGBFEHGBDCEHIADCGBF?bn?是等差数列，且an?bn?bn?1．

（1）求数列?bn?的通项公式；

(an?1)n?1（2）令cn?．求数列?cn?的前n项和Tn．

(bn?2)n解：（1）因为数列?an?的前n项和Sn?3n2?8n，所以a1?11，当n?2时，

an?Sn?Sn?1?3n2?8n?3(n?1)2?8(n?1)?6n?5，又an?6n?5对n?1也成立，所以an?6n?5．

又因为?bn?是等差数列，设公差为d，则an?bn?bn?1?2bn?d．当n?1时，2b1?11?d；当n?2时，

2b2?17?d，解得d?3，所以数列?bn?的通项公式为bn?an?d?3n?1． 2(an?1)n?1(6n?6)n?1??(3n?3)?2n?1，于是Tn?6?22?9?23?12?24???(3n?3)?2n?1， （2）由cn?nn(bn?2)(3n?3)两边同乘以２，得2Tn?6?23?9?24???(3n)?2n?1?(3n?3)?2n?2，两式相减，得 ?Tn?6?2?3?2?3?2???3?2

234n?1?(3n?3)?2n?23?22(1?2n)?3?2??(3n?3)?2n?2

1?224