高中数学选修2-1圆锥曲线的统一定义 例题解析 下载本文

圆锥曲线的统一定义 例题解析

【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中

①设A、B为两个定点,k为非零常数,|PA|?|PB|?k,则动点P的轨迹为双曲线; ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若OP?的轨迹为椭圆;

③方程2x2?5x?2?0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

x2y2x2??1与椭圆?y2?1有相同的焦点. ④双曲线

259351(OA?OB),则动点P2其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)

【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e的关系求得

【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P到两定点是A,B之间的距离的差的绝对值为常数

2a,

且2a?|AB|,那么P点的轨迹为双曲线,故①错,

1由OP?(OA?OB),得P为弦AB的中点,故②错,

25设2x2?5x?2?0的两根为x1,x2则x1?x2?,x1x2?1可知两根互与为倒数,且均为正,故③

2对,

x2y2x2??1的焦点坐标(?34,0),而?y2?1的焦点坐标(?34,0),故④正确. 25935【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e的相互关系.

?【例2】设0???,曲线x2sin??y2cos??1和x2cos??y2sin??1有4个不同的交点.

2(Ⅰ)求θ的取值范围;

(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.

【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识,以及逻辑推理能力和运算能力.

【解】(I)两曲线的交点坐标(x,y)满足方程组

??x2sin??y2cos??1,x2?sin??cos?,?? ? 即?

222???xcos??ysin??1,?y?cos??sin?.sin??cos??0,有4个不同交点等价于x2?0,且y2?0,即? ??cos??sin??0.又因为0????,所以得?的取值范围为(0,).

244?(II)由(I)的推理知4个交点的坐标(x,y)满足方程 x2?y2?2cos?(0????), 即得4个交点共圆,该圆的圆心在原点,半径为r?2cos?(0????4).

??2因为cos?在(0,)上是减函数,所以由cos0?1,cos?.知r的取值范围是(42,2).

442【例3】设双曲线C的中心在原点,以抛物线y2=23x-4的顶点为双曲线的右焦点,抛物线的准线为双曲线的右准线. (Ⅰ)试求双曲线C的方程;

(Ⅱ)设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A.B两点,求|AB|;

(Ⅲ)对于直线y=kx+1,是否存在这样的实数k,使直线l与双曲线C的交点A.B关于直

线y=ax(a为常数)对称,若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.

【分析】(Ⅰ)由已知条件判断双曲线C的焦点在x轴上,然后求双曲线标准方程中的a,b;

(Ⅱ)利用弦长公式求|AB|;

(Ⅲ)假设存在这样的实数k,使直线l与双曲线C的交点A.B关于直线y=ax(a为常数)对称求k值,发现矛盾,从而判断不存在这样的实数k,使直线l与双曲线C的交点A.B关于直线y=ax(a为常数)对称.

【解】(Ⅰ)由抛物线y2=23x-4,即y2=23 (x-

2), 3可知抛物线顶点为(

23,0),准线方程为x=.

6323,0),右准线x=,

63在双曲线C中,中心在原点,右焦点(

2?c??3?3a???32??a3???b?1∴?? 6?c?222?c?a?b?c?23??3??∴双曲线c的方程3x2-y2=1

?y?2x?1222(Ⅱ)由?2?3x?(2x?1)?1?x?4x?2?0 2?3x?y?1∴|AB|=210

(Ⅲ)假设存在实数k,使A.B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1).B(x2,y2),

??ka??1?则?y1?y2?k(x1?x2)?2 ?y?yx?x22?1?a?1?22② ③

?y?kx?122由?2?(3?k)x?2kx?2?0 ④ 2?y?3x?1由②③,有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2 ⑤

2k代入⑤ 23?k整理得ak=3与①矛盾,故不存在实数k,使A.B关于直线y=ax对称.

【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义:一是两点的连线与已知直线垂直;另一方面两点的连线段的中点在已知直线上.

x2y2【例4】已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是

aby 由④知:x1+x2=

F1(?c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|?2a, 点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且 满足PT?TF2?0,|TF2|?0.

(Ⅰ)设x为点P的横坐标,证明 |F1P|?a?(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;

cx; aF1O P Q F2x (Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S?b2.若存在,求

∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

【分析】本小题主要考查平面向量的概,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应

用,以及综合运用数学知识解决问题的能力..