圆锥曲线的统一定义 例题解析
【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA|?|PB|?k，则动点P的轨迹为双曲线； ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP?的轨迹为椭圆；
③方程2x2?5x?2?0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
x2y2x2??1与椭圆?y2?1有相同的焦点. ④双曲线
259351(OA?OB),则动点P2其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e的关系求得
【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P到两定点是A,B之间的距离的差的绝对值为常数
2a,
且2a?|AB|,那么P点的轨迹为双曲线,故①错，
1由OP?(OA?OB),得P为弦AB的中点,故②错，
25设2x2?5x?2?0的两根为x1,x2则x1?x2?,x1x2?1可知两根互与为倒数,且均为正,故③
2对，
x2y2x2??1的焦点坐标(?34,0),而?y2?1的焦点坐标(?34,0),故④正确. 25935【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e的相互关系.
?【例2】设0???,曲线x2sin??y2cos??1和x2cos??y2sin??1有4个不同的交点．
2（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．
【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．
【解】（I）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组
??x2sin??y2cos??1,x2?sin??cos?,?? ? 即?
222???xcos??ysin??1,?y?cos??sin?.sin??cos??0,有4个不同交点等价于x2?0,且y2?0,即? ??cos??sin??0.又因为0????,所以得?的取值范围为（0，).
244?（II）由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程 x2?y2?2cos?(0????), 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为r?2cos?(0????4).
??2因为cos?在(0,)上是减函数，所以由cos0?1,cos?.知r的取值范围是(42,2).
442【例3】设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=23x－4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l:y=2x＋1与双曲线C交于A．B两点，求|AB|；
（Ⅲ）对于直线y=kx＋1，是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A．B关于直
线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C的焦点在x轴上，然后求双曲线标准方程中的a，b；
（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；
（Ⅲ）假设存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A．B关于直线y=ax(a为常数)对称求k值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A．B关于直线y=ax(a为常数)对称．
【解】（Ⅰ）由抛物线y2=23x－4，即y2=23 (x－
2)， 3可知抛物线顶点为（
23，0），准线方程为x=．
6323，0），右准线x=，
63在双曲线C中，中心在原点，右焦点（
2?c??3?3a???32??a3???b?1∴?? 6?c?222?c?a?b?c?23??3??∴双曲线c的方程3x2－y2=1
?y?2x?1222（Ⅱ）由?2?3x?(2x?1)?1?x?4x?2?0 2?3x?y?1∴|AB|=210
（Ⅲ）假设存在实数k，使A．B关于直线y=ax对称，设A(x1，y1)．B(x2，y2)，
??ka??1?则?y1?y2?k(x1?x2)?2 ?y?yx?x22?1?a?1?22② ③
?y?kx?122由?2?(3?k)x?2kx?2?0 ④ 2?y?3x?1由②③，有a(x1＋x2)=k(x1＋x2)＋2 ⑤
2k代入⑤ 23?k整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A．B关于直线y=ax对称．
【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．
x2y2【例4】已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是
aby 由④知：x1＋x2=
F1(?c,0)、F2(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a， 点Ｐ是线段F1Q与该椭圆的交点，点Ｔ在线段F2Q上，并且 满足PT?TF2?0,|TF2|?0．
（Ⅰ）设x为点Ｐ的横坐标，证明 |F1P|?a?（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；
cx； aF1O P Ｑ F2x （Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△F1MF2的面积S?b2．若存在，求
∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．
【分析】本小题主要考查平面向量的概，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应
用，以及综合运用数学知识解决问题的能力..