得a=﹣,
,则g′(x)=﹣
=﹣
,
设g(x)=﹣
由g′(x)>0得﹣2<x<﹣1或﹣1<x<0,此时递增,
由g′(x)<0得x<﹣2,此时递减,即当x=﹣2时,g(x)取得极小值为g(﹣2)=4,
当x>0时,由f(x)=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax, 得x2﹣ax+2a=0,
得a(x﹣2)=x2,当x=2时,方程不成立, 当x≠2时,a=设h(x)=
,则h′(x)==,
由h′(x)>0得x>4,此时递增,
由h′(x)<0得0<x<2或2<x<4,此时递减,即当x=4时,h(x)取得极小值为h(4)=8,
要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解, 则由图象知4<a<8, 故答案为:(4,8)
【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用参数分离法结合函数的极值和导
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数之间的关系以及数形结合是解决本题的关键.
三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13.00分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣
).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.
【分析】(Ⅰ)由正弦定理得bsinA=asinB,与bsinA=acos(B﹣B.
(Ⅱ)由余弦定理得b=
,由bsinA=acos(B﹣
),得sinA=
,cosA=
,
).由此能求出
由此能求出sin(2A﹣B).
【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得又bsinA=acos(B﹣∴asinB=acos(=cosBcos∴tanB=
+sinBsin,
.
, =
,
,
,由bsinA=acos(B﹣
),得sinA=
,
). B﹣=
cosB+
),即
,
sinB=cos(B﹣
)
,得bsinA=asinB,
又B∈(0,π),∴B=
(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=由余弦定理得b=∵a<c,∴cosA=∴sin2A=2sinAcosA=cos2A=2cos2A﹣1=,
∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.
【点评】本题考查角的求法,考查两角差的余弦值的求法,考查运算求解能力,
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考查函数与方程思想,是中档题.
16.(13.00分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
【分析】(Ⅰ)利用分层抽样,通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数;
(Ⅱ)若(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,的可能值,求出概率,得到随机变量X的分布列,然后求解数学期望; (ii)利用互斥事件的概率求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.人数比为:3:2:2,
从中抽取7人现,应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3,2,2人. (Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数, 随机变量X的取值为:0,1,2,3,所以随机变量的分布列为:
X P
0
,k=0,1,2,3.
1
2
3
=
;
随机变量X的数学期望E(X)=
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,
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设事件B为:抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人,事件C为抽取的3人中,
睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人, 则:A=B∪C,且P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=. 所以事件A发生的概率:.
【点评】本题考查分层抽样,考查对立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列与期望,确定X的可能取值,求出相应的概率是关键.
17.(13.00分)如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.
(Ⅰ)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE; (Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣F的正弦值;
(Ⅲ)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.
【分析】(Ⅰ)依题意,以D为坐标原点,分别以、、的方向为x轴,y
轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.求出对应点的坐标,求出平面CDE的法向
量及
,由
,结合直线MN?平面CDE,可得MN∥平面CDE;
(Ⅱ)分别求出平面BCE与平面平面BCF的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BC﹣F的正弦值;
(Ⅲ)设线段DP的长为h,(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),求出
,而
为平面ADGE的一个法向量,由直线BP与平
面ADGE所成的角为60°,可得线段DP的长.
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【解答】(Ⅰ)证明:依题意,以D为坐标原点,分别以轴,
y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
、、的方向为x
可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),
E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2). 设则又
为平面CDE的法向量,
,不妨令z=﹣1,可得,可得
.
;
又∵直线MN?平面CDE, ∴MN∥平面CDE; (Ⅱ)解:依题意,可得设则设则
为平面BCE的法向量,
,不妨令z=1,可得为平面BCF的法向量,
,不妨令z=1,可得
. .
,
,
.
因此有cos<>=
;
,于是sin<>=.
∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为
(Ⅲ)解:设线段DP的长为h,(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h), 可得故|cos<
>|=
,而
为平面ADGE的一个法向量, .
由题意,可得
,解得h=
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∈[0,2].