初中数学竞赛辅导资料 (1) 下载本文

初中数学竟赛辅导资料(1)

数的整除(一)

内容提要:

如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2或5 末位数能被2或5整除 4或25 末两位数能被4或25整除 8或125 末三位数能被8或125整除 3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771,54324) 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001,22743,17567,21281等) 能被7整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100-2=98(能被7整除) 又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征:

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除

如 1001 100-1=99(能11整除) 又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 例题

例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。求x,y

解:x,y都是0到9的整数,∵5y7能被9整除,∴y=6. ∵328+2x9=567,∴x=3 例2己知五位数1234x能被12整除, 求X

解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除,

当1+2+3+4+X能被3整除时,x=2,5,8 当末两位4X能被4整除时,X=0,4,8 ∴X=8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是10234,

但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行

调整末两位数为30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习

1.分解质因数:(写成质因数为底的幂的连乘积)

①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2.若四位数987a能被3整除,那么 a=_______________ 3.若五位数12X34能被11整除,那么 X=__________- 4.当 m=_________时,35m5能被25整除

5.当 n=__________时,9610n能被7整除

6.能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________

7.能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最小四位数是_________

8.8个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号):6________,8__________,9_________,11__________

9. 从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个, 能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10. 由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3整除的数共有几个?为什么? 11. 己知五位数1234A能被15整除,试求A的值。 12. 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。

13.在十进制中,各位数码是0或1,并能被225整除的最小正整数是____(1989年全国初中联赛题)

初中数学竞赛辅导资料(2)

倍数 约数

内容提要

1.两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。

例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。

2.因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。

如0是7的倍数,7是0的约数。

3.整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,

例如5的倍数有±5,±10,……。

4.整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。

例如6的约数是±1,±2,±3,±6。

5.通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6.公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。 7.在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数

若用字母表示可记作:A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除 例如23=3×7+2 则23-2能被3整除。 例题

例1 写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以

应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32。 解:列表如下 正整数 正约数 个数计 正整数 正约数 个数计 正整数 正约数 个数计 2 22 23 24 1,2 1,2,4 2 3 3 32 33 34 1,3 1,3,32 2 3 2×3 22×3 22×32 1,2, 3,6 1,2,3, 4,6,12 1,2,3,4,6, 9,12,18,36 4 6 9 4 1,2, 4,8 1,2,4, 5 8,16 4 1,3, 32,33 1,3,32, 5 33,34 其规律是:设A=ambn(a,b是质数,m,n是正整数) 那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1) 例如 求360的正约数的个数

解:分解质因数:360=23×32×5,360的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个) 例2 用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数 解:∵24=23×3,90=2×32×5

∴最大公约数是2×3, 记作(24,90)=6 最小公倍数是23×32×5=360, 记作[24,90]=360 例3 己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N

解:∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数

∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6 经检验1和2不合题意,∴N=6,3 例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数

分析:依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。 解: ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359 练习2

1.12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2.分解质因数300=_________,300的正约数的个数是_________ 3. 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4. 一个三位数能被7,9,11整除,这个三位数是_________

5. 能同时被3,5,11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6. 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2,则A=________ 7. 写出能被2整除,且有约数5,又是3的倍数的所有两位数。答____

8. 一个长方形的房间长丈,宽丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大边长可以是几寸?若用整数寸作国边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合?

9. 一条长阶梯,如果每步跨2阶,那么最后剩1阶,如果每步跨3阶,那么最后剩2阶,如果每步跨4阶,那么最后剩3阶,如果每步跨5阶,那么最后剩4阶,如果每步跨6阶,那么最后剩5阶,只有每步跨7阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶?

初中数学竞赛辅导资料(3)

质数 合数

内容提要

?1?1.正整数的一种分类:?质数

?合数? 质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。 合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。 2. 根椐质数定义可知

1) 质数只有1和本身两个正约数, 2) 质数中只有一个偶数2

如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,

如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积。 能写成几个质数的积的正整数就是合数。 例题

例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)。求这两个数

解:∵两个质数的和等于奇数,∴必有一个是2.所求的两个质数是2和a-2。 例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数 解:∵质数m只含两个正约数1和m, 又∵(-1)(-m)=m,∴所求的两个整数是1和m或者-1和-m. 例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30,求适合条件的a,b,c的值 解:分解质因数:30=2×3×5

?a?2? 适合条件的值共有: ?b?3?c?5??a?2??b?5?c?3??a?3?a?3?a?5?a?5?????b?2?b?5?b?2?b?3 ?c?5?c?2?c?3?c?2????应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合

条件的a,b,c,d值共有24组,试把它写出来。 例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数。 解:(本题答案不是唯一的)

设N是不大于5的所有质数的积,即N=2×3×5,

那么N+2,N+3,N+4,N+5就是适合条件的四个合数. 即32,33,34,35就是所求的一组数。 本题可推广到n 个。

令N等于不大于n+1的所有质数的积,那么N+2,N+3,N+4,……N+(n+1)就是所求的合数。 练习3

1.小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2.己知质数P与奇数Q的和是11,则P=__,Q=__ 3.己知两个素数的差是41,那么它们分别是_____ 4. 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是___

如果两个整数的积等于73,那么它们是____ 如果两个质数的积等于15,则它们是_____

5.两个质数x和y,己知 xy=91,那么x=______,y=______,或x=______,y=______.

?a??6.三个质数a,b,c它们的积等于1990. 那么 ?b?

?c??7. 能整除311+513的最小质数是__

8.己知两个质数A和B适合等式A+B=99,AB=M。求M及

AB+的值 BA9.试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数。

10.具备什么条件的最简正分数可化为有限小数?

11.求适合下列三个条件的最小整数:1)大于1 2)没有小于10的质因数 3)不是质数

12.某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是___ 13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是__。