∵x?4??2y2020，∴

x2?y2?2x0y?2?0， y0令y?0，x2?y2?2?0，解得x??2，

∴以MN为直径的圆过定点F(?2,0)． ………………16分 【考点】直线与椭圆位置关系

19.（本题满分16分）

数列an?，bn?，cn?满足：bn?an?2an?1，cn?an?1?2an?2?2，n?N*． （1）若数列an?是等差数列，求证：数列bn?是等差数列；

（2）若数列bn?，cn?都是等差数列，求证：数列an?从第二项起为等差数列； （3）若数列bn?是等差数列，试判断当b1?a3?0时，数列an?是否成等差数列？证明你的结论．

【答案】（１）证明一个数列为等差数列，一般从等差数列定义出发：

??????????bn?1?bn?(an?1?2an?2)?(an?2an?1)?(an?1?an)?2(an?2?an?1)?d?2d??d，其中

d为等差数列?an?的公差（２）同（1），先根据关系式bn?an?2an?1，cn?1?an?2an?1?2解出an?bn?cn?1?1，再从等差数列定义出发2bn?1?cnbn?cn?1bn?1?bncn?cn?1d1d2?????，其中d1,d2分别为等差数222222an?1?an?列bn?，cn?的公差（3）探究性问题，可将条件向目标转化，一方面b1?a3?0，所以

??a1?2a2??a3，即a1?2a2?a3?0，另一方面2bn?1=bn+bn?2，所以an?2an?1+an+2?2an?3=2（an+1?2an?2），整理得

2an?1?an?an?2?2(2an?2?an?1?an?3)，从而2an?1?an?an?2?0，即数列?an?成等差

数列．

试题解析：证明：（１）设数列an?的公差为d，

?

∵bn?an?2an?1，

∴bn?1?bn?(an?1?2an?2)?(an?2an?1)?(an?1?an)?2(an?2?an?1)?d?2d??d， ∴数列bn?是公差为?d的等差数列． ………………４分

?

（３）数列an?成等差数列． 解法１ 设数列bn?的公差为d?， ∵bn?an?2an?1， ∴2bn?2an?2∴2bn?2nn?1nnn?1??an?1，∴2n?1bn?1?2n?1an?1?2nan，…，2b1?2a1?22a2，

bn?1???2b1?2a1?2n?1an?1，

2n?1设Tn?2b1?2b2??2bn?1?2nbn，∴2Tn?22b1???2nbn?1?2n?1bn，

2n?1两式相减得：?Tn?2b1?(2???2即Tn??2b1?4(2∴2n?1n?1?2n)d??2n?1bn，

?1)d??2n?1bn，∴?2b1?4(2n?1?1)d??2n?1bn?2a1?2n?1an?1，

an?1?2a1?2b1?4(2n?1?1)d??2n?1bn?2a1?2b1?4d??2n?1(bn?d?)，

2a1?2b1?4d??(bn?d?)， ………………１２分 n?122a1?2b1?4d?2a1?2b1?4d???(b?d)??b1， 22323∴an?1?令n?2，得a3?

∵b1?a3?0，∴

2a1?2b1?4d??b1?a3?0，∴2a1?2b1?4d??0， 32

∴an?1??(bn?d?)，∴an?2?an?1??(bn?1?d?)?(bn?d?)??d?，

∴数列an?（n?2）是公差为?d?的等差数列， ………………１４分 ∵bn?an?2an?1，令n?1，a1?2a2??a3，即a1?2a2?a3?0，

∴数列an?是公差为?d?的等差数列． ………………１６分

??

∵数列bn?是等差数列，∴2bn?1?bn?bn?2?0，

∴2an?1?an?an?2?2(2an?2?an?1?an?3)， ………………１４分 ∵a1?2a2?a3?0，∴2an?1?an?an?2?0，

∴数列an?是等差数列． ………………１６分 【解析】

【考点】等差数列定义

20.（本题满分16分） 已知函数f(x)?lnx???1，g(x)?ax?b． x(1)若函数h(x)?f(x)?g(x)在(0,??)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2) 若直线g(x)?ax?b是函数f(x)?lnx?1图象的切线，求a?b的最小值； x2(3)当b?0时，若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2)，求证：x1x2?2e． （取e为2.8，取ln2为0.7，取2为1.4） 【答案】（１）(??,0]（２）?1．

（3）由题意知lnx1?11?ax1，lnx2??ax2， x1x2两式相加得lnx1x2?x1?x2xx?x?a(x1?x2)，两式相减得ln2?12?a(x2?x1)， x1x2x1x1x2x2xln2x1x?xx111即，∴，

??alnx1x2?12?(?)(x1?x2)x2?x1x1x2x1x2x2?x1x1x2ln即lnx1x2?2(x1?x2)x1?x2x2?ln， …………１２分

x1x2x2?x1x12x22(t?1)(t?1)?1，(t?1)，?0， 不妨令0?x1?x2，记t?令F(t)?lnt?则F?(t)?x1t?1t(t?1)∴F(t)?lnt?2(t?1)2(t?1)?F(1)?0， 在(1,??)上单调递增，则F(t)?lnt?t?1t?1x22(x2?x1)2(x1?x2)x1?x2x22(t?1)ln?lnxx??ln?2， ∴lnt?，则，∴12x1x1?x2x1x2x2?x1x1t?1又lnx1x2?4x1x22(x1?x2)44?lnx1x2??lnx1x2??2lnx1x2?，

x1x2x1x2x1x2x1x2∴2lnx1x2?42?2，即lnx1x2??1， x1x2x1x2212?G(x)??2?0，∴G(x)在(0,??)上单调递增， x?0，则时，

xxx令G(x)?lnx?又ln2e?212?ln2?1??0.85?1，

e2e2222?1?ln2e?，则x1x2?2e，即x1x2?2e． x1x22e∴G(x1x2)?lnx1x2?………………１６分

【解析】（１）由题意得对?x?0，h?(x)?1111?2?a?0恒成立，即a?（?2）min，xxxx11111(x,lnx?)a??2，??0a?0∵，∴（２）设切点0，由导数几何意义得02xxx0xx00

b?lnx0?21?1，令?t?0，则a?b??(t)??lnt?t2?t?1，问题就转化为利用导x0x01t(2t?1)(t?1)得当t?(0,1)时，??(t)?0，?(t)在(0,1)t数求最值：由??(t)???2t?1?上单调递减；当t?(1,??)时，??(t)?0，?(t)在(1,??)上单调递增，

∴a?b??(t)??(1)??1，故a?b的最小值为?1．（3）本题较难，难点在于构造函数.先根据等量关系消去参数a：由题意知lnx1?11?ax1，lnx2??ax2，两式相加得x1x2lnx1x2?x1?x2xx?x?a(x1?x2)，两式相减得ln2?12?a(x2?x1)，即x1x2x1x1x2x2x11，

??ax2?x1x1x2lnx22(x1?x2)x1?x2x2lnxx??ln，为x?xx1∴，即121lnx1x2?12?(?)(x1?x2)x1x2x2?x1x1x1x2x2?x1x1x2ln研究等式右边范围构造函数F(t)?lnt?2(t?1)(t?1)，易得F(t)在(1,??)上单调递增，t?1因此当0?x1?x2时，有lnx22(x2?x1)x2(x2?x1)??0即ln2?，所以x1x1?x2x1x1?x2lnx1x2?2(x1?x2)?2，再利用基本不等式进行放缩：

x1x24x1x22(x1?x2)44?lnx1x2??lnx1x2??2lnx1x2?，

x1x2x1x2x1x2x1x22?lnx1x2?即lnx1x2?22?1，再一次构造函数G(x)?lnx?，易得其在(0,??)上单调递增，x1x2x22?1?ln2e??G(2e)，因此x1x2?2e，即x1x22e而G(x1x2)?lnx1x2?x1x2?2e2．