所以原子从第六激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：
ch(2.9979?108m?s?1)?(6.626?10?34J?s)?6???92.9nm?E62.14?10?18J
这两条谱线皆属Lyman系，处于紫外光区。
（b）使处于基态的氢原子电离所得要的最小能量为：
ΔE∞=E∞-E1=-E1=2.18×10J
而 ΔE1=1.64×10J<ΔE∞ ΔE6=2.14×10J<ΔE∞
所以，两条谱线产生的光子均不能使处于基态的氢原子电离，但是 ΔE1>ФCu=7.44×10J
ΔE6>ФCu=7.44×10J
所以，两条谱线产生的光子均能使铜晶体电离。
（c）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光子学说，铜晶体发射出的光电子的波长为：
-19-19
-18-18
-18
??
hhh??pmv2m?E 式中ΔE为照射到晶体上的光子的能量和ФCu之差。应用上式，分别计算出两条原子光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出的光电子的波长：
??
'16.626?10?34J?s?31?18?19?(2?9.1095?10kg)?(1.64?10J?7.44?10J)???6.626?10?34J?s12?519pm
?6'?
?31?18?19?(2?9.1095?10kg)?(2.14?10J?7.44?10J)???12?415pm
【2.4】请通过计算说明，用氢原子从第六激发态跃迁到基态所产生的光子照射长度为
1120pm的线型分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2，该分子能否产生吸收光谱。若能，
计算谱线的最大波长；若不能，请提出将不能变为能的思路。
解：氢原子从第六激发态（n=7）跃迁到基态（n=1）所产生的光子的能量为：
1148??eV??13.595?eV?13.595?eV??227149??
6?1 ?13.32eV?1.285?10Jmol
而CH2CHCHCHCHCHCHCH2分子产生吸收光谱所需要的最低能量为：
?EH??13.595?2252h24hh2?EC8?E5?E4???9?228ml8ml8ml2
?9??6.626?10?34Js?22
?19 ?4.282?10J
5?1 ?2.579?10Jmol
8?9.1095?10?31kg??1120?10?12m?
显然?EH??EC8，但此两种能量不相等，根据量子化规则，
CH2CHCHCHCHCHCHCH2不能产生吸收光效应。若使它产生吸收光谱，可改换光源，
例如用连续光谱代替H原子光谱。此时可满足量子化条件，该共轭分子可产生吸收光谱，其吸收波长为：
hc????E6.626?10?34Js?2.998?108ms?19??6.626?10?34Js?228?9.1095?10?31kg??1120?10?12m?
?460nm
【2.5】计算氢原子?1s在r?a0和r?2a0处的比值。 解：氢原子基态波函数为：
3/2ra0
1?1??1s?????a0?
3/2e?
该函数在r=a0和r=2a0处的比值为：
?01?1?a0??e??a0?e?1??2?e?2.718283/22a0?e1?1?a0??e??a0?
a2?1而s在在r=a0和r=2a0处的比值为：
e≈7.38906
2
?2p?z【2.9】已知氢原子的(a)原子轨道能E=?
?r??r?exp?????342?a0?a0??a0?cos?，试回答下列问题：
1(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=? (c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？
(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。 (e)节面的个数、位置和形状怎么样？ (f)概率密度极大值的位置在何处？ (g)画出径向分布示意图。 解：（a）原子的轨道能：
E??2.18?10?18J?（b）轨道角动量：
1??5.45?10?19J22 hh?22?2?
M?l(l?1)轨道磁矩：
??l?l?1??e
（c）轨道角动量和z轴的夹角：
hM2??0cos??z?hM2?2?， ??90
0?（d）电子离核的平均距离的表达式为：
*?r???2pzr?2pzd?
???0（e）令
?2p?0，得：
z??0?2?022?2pr?rsin?drd?d?zr=0，r=∞，θ=90
0
?2p的节面只有一个，即xy平面（当然，坐标原点
0
也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分Y?3/4?cos??0，求得θ=90。
节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故
z（f）几率密度为：
2???2pz
????sin??0000
??由式可见，若r相同，则当θ=0或θ=180时ρ最大（亦可令，θ=0或θ
=180），以?0表示，即：
0
?r??ar2??ecos?3?32?a0?a0?
1021?r??ar?0??(r,??0,180)??e3?32?a0?a0?
02将?0对r微分并使之为0，有：
2r?d?0d1?r??a0????e?3?drdr?32?a0a??0???
r?1r?a0??re2????0532?a0a0?? 又因：
解之得：r=2a0（r=0和r=∞舍去）
d2?0|?02r?2a0 dr
2?2所以，当θ=0或θ=180，r=2a0时，p有极大值。此极大值为：
0
0
z1?2a0??2aae?2?m??e?3?332?a0a8?a0?0?
?3 ?36.4nm
002D2pz（g）
5?r?r2???114?a02a0?222?1?rR?r?re?re5?26??24a0?a0?????
2
根据此式列出D-r数据表： r/a0
?1a0D/
0 0 7.0 0.091
1.0 0.015 8.0 0.057
2.0 0.090 9.0 0.034
3.0 0.169 10.0 0.019
4.0 0.195 11.0 1.02×10
-2
5.0 0.175 12.0 5.3×10
-3
6.0 0.134
r/a0 D/a?10
按表中数据作出D-r图如下：
0.20D(r)/a0-10.150.100.050.000246810012r/a图2.9 H原子
?2p
的D-r图
z由图可见,氢原子?2pz的径向分布图有n-l＝1个极大(峰)和n-l-1＝0个极小(节面)，这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在r＝4a0处。这与最大几率密度对应的r值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与n和l有关而与m无关，2px、2py和2pz的径向分布图相同。
【2.10】对氢原子，??c1?210?c2?211?c3?311，所有波函数都已归一化。请对?所描述的状态计算：
(a)能量平均值及能量?3.4eV出现的概率； (b)角动量平均值及角动量2h/2?出现的概率；
(c)角动量在z轴上的分量的平均值及角动量z轴分量h/?出现的概率。 解：根据量子力学基本假设Ⅳ-态叠加原理，对氢原子?所描述的状态： (a)能量平均值
22E??ci2Ei?c12E1?c2E2?c3E3i
111??2??2???c12??13.6?2eV??c2?13.6?eV?c?13.6?eV3????22223??????
13.6213.622??c1?c2eV?ceV??349
22???3.4c12?3.c4c3?5eV2?1.
能量?3.4eV出现的概率为
(b)角动量平均值为
i2c12?c222?c?c12222 c1?c2?c3
22M??ci2M?c12M1?c2M2?c3M3
hhh22?cll?1?cll1?????2223332?2?2?
hhh22?c121?1?1??c21?1?1??c31?1?1?2?2?2?
2h222?c1?c2?c3??2? 2h角动量2?出现的概率为
?c12l1?l1?1?223c?c?c?1 123
(c)角动量在z轴上的分量的平均值为
角动量z轴分量h/π出现的概率为0。
hhh21?c2m2?c3m32?2?2? ih22222h???c?0?c?1?c??1?c?c????2323?1?2?2?
Mz??ci2Mzi?c12m1【2.13】写出He原子的Schr?dinger方程,说明用中心力场模型解此方程时要作那些假设,计算其激发态(2s)1(2p)1的轨道角动量和轨道磁矩.
解：He原子的Schrodinger方程为：
?h22e2?11?1e2?22??2??1??2?????E?????8?m4??0?r1r2?4??0r12? ?
12是电子1和电子2之间的距离，若以原式中r1和r2分别是电子1和电子2到核的距离，r子单位表示，则He原子的Schrodinger方程为：
?12221?2??????????E?2???1r1r2r12??2
用中心力场解此方程时作了如下假设：
(1)将电子2对电子1（1和2互换亦然）的排斥作用归结为电子2的平均电荷分布所产生的一个以原子核为中心的球对称平均势场的作用（不探究排斥作用的瞬时效果，只着眼于排斥作用的平均效果）。该势场叠加在核的库仑场上，形成了一个合成的平均势场。电子1在此平均势场中独立运动，其势能只是自身坐标的函数，而与两电子间距离无关。这样，上述Schrodinger方程能量算符中的第三项就消失了。它在形式上变得与单电子原子的Schrodinger方程相似。
(2)既然电子2所产生的平均势场是以原子核为中心的球形场，那么它对电子1的排斥作用的效果可视为对核电荷的屏蔽，即抵消了?个核电荷，使电子1感受到的有效电荷降