第四章 幂函数、指数函数和对数函数

4.3.3 几何变换I(反射续及对称图形)

【课堂例题】

例1.写出函数y??x,y?2x2,y?2x分别关于下列直线反射后的函数解析式： (1)x??1；

(2)y?3.

例2.函数y?2(x?1)2经过一次平移或一次反射后变为函数y?2(x?2)2，求平移量或反射直线方程.

例3.已知函数y?f(x)是对称图形，根据下列等式接触函数y?f(x)的对称轴方程或对称中心坐标.

(1)f(x)?f(?x)；

(2)f(x)??f(?x);

(3)f(x)?f(2?x)

(4)f(x)??f(3?x)

第四章 幂函数、指数函数和对数函数

4.3.3 几何变换I(反射续及对称图形)

【知识再现】

1.(直线)反射变换，又称为直线对称变换续

①反射轴为直线x?a的变换公式为 ， 函数y?f(x)在此变换下变为函数y? ； ②反射轴为直线y?b的变换公式为 ， 函数y?f(x)在此变换下变为函数y? ； 特别地，在此变换下不变的函数图像为轴对称图形. 2.(点)反射变换，又称为中心对称变换

①关于原点O的变换公式为 ，

函数y?f(x)在此变换下变为函数y? ； ②关于定点(a,b)的变换公式为 ， 函数y?f(x)在此变换下变为函数y? . 特别地，在此变换下不变函数图像为中心对称图形.

【基础训练】

1.(1)函数y?2x关于直线x?2对称的函数为 ； (2)y?x与函数y?3?x关于直线 对称.

2.已知f(x)与g(x)的图像关于直线x??1对称，且f(3)?2，则g(x)必过点 .

3.与函数y?2x?3关于原点中心对称的函数为 ； 4.函数y?x与函数y?3?(2?x)关于 对称.

25.若函数f(x)?x?bx?c，满足f(x)?f(4?x)，则把f(1),f(2),f(4)从小到大依次

2222排列为 ；

6.下列说法正确的是 .(写出所有正确命题的序号)

①函数y?f(x)是奇函数，那么y?f(x?2)的图像是关于点(2,0)点中心对称的图形； ②若f(x)?f(?2?x)对任意x都成立，则函数y?f(x)的图像关于直线x??1对称. ③函数y?f(x)与函数的y?f(2?x)图像关于直线x?2对称；

④若f(x)??f(2?x)对任意x都成立，则y?f(x)的图像关于点(1,0)中心对称； ⑤平移、轴反射变换、中心反射变换都保持平面上任意两点间的距离在变换前后不变. 7.利用变换证明：函数y?

3x?1的图像关于点(?2,3)中心对称. x?2第四章 幂函数、指数函数和对数函数

【巩固提高】

8.将y?f(x)的图像依次进行下列变换各一次后得到y?g(x)的图像： ①关于y轴反射；②向右平移1个单位③关于原点反射；④向下平移2个单位； ⑤关于y轴反射.

(1)若(1,2)在y?f(x)的图像上，则哪一点必在y?g(x)的图像上； (2)写出函数y?g(x)的解析式(用含有f的解析式表示).

9.根据对称与变换的关系，我们已经知道

F为轴对称图形?F在轴反射变换下不变; F为中心对称图形?F在中心反射变换下不变;

那么类比可得：

F为平移对称图形? . 如果y?f(x),x?R的图像在变换：“水平移动2个单位长度”下是 平移对称图形，且y?f(x)在区间[0,2]上的图像如图所示：

y 2 2O ?2 (1)画出函数f(x)在R上的大致图像，(不要超出网格部分)；

(2)写出f(x)的单调区间、对称轴与对称中心.

x(3)若函数y?g(x),x?R的图像在变换：“水平移动t,(t?0)”下是平移对称图形， 求g(x)

注1：这样的函数我们称为以t为周期的周期函数.

注1所满足的条件.