(第1题)

b．矩形判定的应用

2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证： (1)四边形OCED是矩形； (2)OE＝BC.

(第2题)

c．矩形性质和判定的应用

3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.

(1)求证：BD＝PE＋PF.

(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．

(第3题)

菱形的综合性问题 a．菱形性质的应用

4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.

(1)求证：AE＝EC.

(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．

(第4题)

b．菱形判定的应用

5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(t>0)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

(1)求证：AE＝DF.

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

(第5题)

c．菱形性质和判定的应用

6．(1)如图①，纸片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( )

A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.

①求证：四边形AFF′D是菱形；

②求四边形AFF′D的两条对角线的长．

(第6题)

正方形的综合性问题 a．正方形性质的应用

7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．

(第7题)

b．正方形判定的应用

8．两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①)，CE＝2 cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．

(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图②)，连接AE，CG，求证：△AED≌△GCD； (2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．

(第8题)

答案

专训1

1．解：由折叠的性质知∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠1

FEM＝×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形．∴

2HG∥EF，HG＝EF.∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF.∴AD＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.∵HF＝EH2＋EF2＝32＋42＝5(cm)，∴AD＝5 cm.

点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．

(第2题)

2．解：PE＋PF＝AB.理由：过点P作PG⊥AB于G，交BD于O，如图所示． ∵PG⊥AB，PF⊥AC，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°.∴四边形AGPF是矩形．∴AG＝PF，PG∥AC.∴∠C＝∠GPB.又∵BD＝DC，∴∠C＝∠DBP.∴∠GPB＝∠DBP.∴OB＝OP.∵PG⊥AB，PE⊥BD，

∴∠BGO＝∠PEO＝90°. 在△BGO和△PEO中， ∠BGO＝∠PEO，??

?∠GOB＝∠EOP， ??OB＝OP，

∴△BGO≌△PEO.∴BG＝PE. ∵AB＝BG＋AG＝PE＋PF.

3．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD. ∴BE∥DF.又∵BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形．

∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°.

∴四边形BFDE是矩形．

(2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD＝BC. ∴∠DFA＝∠FAB.

由(1)易得△BCF为直角三角形， 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC＝CF2＋BF2＝32＋42＝5， ∴AD＝BC＝DF＝5. ∴∠DAF＝∠DFA. ∴∠DAF＝∠FAB， 即AF平分∠DAB.

4．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF. 又∵点E为BC的中点，∴BE＝CE. 在△ABE和△FCE中， ∠ABE＝∠FCE，??

∵?BE＝CE， ??∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.

又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．

(2)解：∵四边形ABFC是矩形，

DF

∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形，∴CF＝CD＝＝2.∴AC＝42－22＝23.∴S

2

四边形ABFC

＝23×2＝43.

专训2

1．(1)证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形．