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第2课时 等比数列的性质及应用
课后篇巩固探究
A组
1.已知数列{an}是等比数列,给出以下数列:①{|an|};②{an-an+1};③;④{kan}.则其中一定是等比数列的是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.②③④
解析当数列{an}为1,1,1,1,…时,数列{an-an+1}不是等比数列;当k=0时,数列{kan}不是等比
数列,而{|an|}和答案C 一定是等比数列.
2.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a1=( )
A. B. 2
C.8
42
2
D.2
解析设公比为q,由已知,得a1q·a1q=2(a1q).q=2.因为等比数列{an}的公比为正数,所以
q=,所以a1=,故选B.
答案B 3.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 解析依题意可知=a1a4,即(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,于是a2=-8+2=-6.
答案B 4.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( ) A.12 B.10 C.1+log35 D.2+log35 解析因为{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是
55
log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)=log39=10. 答案B 5.在等比数列{an}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于( )
1313
A.-2 B.2 C.26 D.-26 解析因为{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=积为a1a2…a13=,于是该数列的前13项的乘
=(-2)13=-213.
答案A 6.已知数列{an}是首项为a1=4的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则其公比q等于 .
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解析依题意,得2a5=4a1-2a3,即2a1q=4a1-2a1q,整理,得q+q-2=0,解得q=1(q=-2舍去),所以q=1或q=-1. 答案1或-1
7.已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8= .
424222
解析设{an}的公比为q,则a9+a11=q(a3+a5),于是q=66
=8,因此q3=±2,所以
a6+a8=q3(a3+a5)=±36答案±36 .
8.在两数1,16之间插入3个数,使它们成等比数列,则中间的数等于 .
2
解析设插入的三个数分别为a,b,c,则b=16,∴b=±4. 设其公比为q,
∵b=1·q2>0,∴b=4. 答案4 9.等比数列{an}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11,②a3·a4=等差数列,试求数列{an}的通项公式.
,③三个数a2,,a4+依次成
解由等比数列的性质知a1a6=a3a4=,所以解得
时,q=2,所以an=·2,
n-1
这时a2+a4+,2,所以a2,,a4+成等差数列,故an=·2.
n-1
当时,q=,an=·2, a2+a4+≠26-n,不符合题意.
故通项公式an=·2.
10.导学号04994043列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an. 解设数列{an}的首项为a1,公比为q, ∵b1+b2+b3=3,∴log2a1+log2a2+log2a3=3,
设{an}是各项均为正数的等比数
n-1
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∴log2(a1a2a3)=3,∴a1a2a3=8,∴a2=2.
∵b1b2b3=-3,∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,
∴log2a1·log2a3=-3,∴log2·log2a2q=-3,
即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,
即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,解得log2q=±2.
当log2q=2时,q=4,a1=,所以an=×4=2
n-12n-3
;
当log2q=-2时,q=,a1==8,所以an=8×=25-2n.
B组
1.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N),且a2+a4+a6=9,则loA.-5
B.-
C.5
D.
*
(a5+a7+a9)的值为( )
解析∵log3an+1=log3an+1,∴=3,
是
等
比
数
列
,
公
比
∴数列{an}q=3,∴lo(a5+a7+a9)=lo(a2q+a4q+a6q)=lo333
[(a2+a4+a6)q]=lo3
(9×3)=-5.
3
答案A 2.某工厂去年产值为a,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ( ) A.6 B.7 C.8 D.9
2n解析设从今年起第n年这个工厂的产值为an,则a1=1.1a,a2=1.1a,…,an=1.1a.依题意,得nn1.1a>2a,即1.1>2,解得n≥8. 答案C 3.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an·an+1·an+2>的最大正整数n的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
解析由a2a4=4,a1+a2+a3=14可求得a1=8,q=,于是an=8·=24-n,从而
anan+1an+2=24-n·23-n·22-n=29-3n.令29-3n>,经检验知,最大正整数n的值为4.
答案B 4.若实数a,b,c成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c=15,则a,b,c的值分别为 .
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解析依题意可得 解得 答案2,5,8或11,5,-1
5.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= . 解析设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12可得q9=3.又
an-1anan+1=答案14 q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.
6.在公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则
b6b8= .
解析∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,
又b7=a7≠0,∴b7=a7=4.
∴b6b8==16.
答案16 7.导学号04994044等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10. (1)求实数a1和d的值;
(2)b16是不是{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
n-1n-1
解(1)设数列{an},{bn}的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,bn=b1q=a1d.
由3
9
即3d=a1(d-1),9d=a1(d-1).
63
以上两式相除,整理得d+d-2=0.
33
解得d=1或d=-2.
∵d≠1,∴d3=-2.∴d=-代入原方程中,解得a1=. .故a1=,d=-.
,bn=-(-).
n(2)由(1)得,数列{an},{bn}的通项公式分别为an=(2-n)·故b16=-(-由(2-n))=-3216
.
=-32,解得n=34.