2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1???xcos,若x?0,（1）设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是x若x?0,??0,_____. （2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?________. （3）设a>0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而D表示全平面，则

0,其他，?I???f(x)g(y?x)dxdy=_______.

D（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)T,a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵 A?E???T， B?E?其中A的逆矩阵为B，则a=______.

（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为________.

（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样

1??T， a1n本，则当n??时，Yn??Xi2依概率收敛于______.

ni?1二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

f(x) [ ] x

(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. （2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是 [ ] (A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在.

（3）设pn??an?an2，qn??an?an2?，n?1,2,?，则下列命题正确的是 [ ]

(A) 若

?an?1?nn条件收敛，则

?pn?1?nn与

?qn?1nn都收敛.

(B) 若

?an?1?绝对收敛，则

?pn?1?与

?qn?1??都收敛.

(C) 若

?an?1n条件收敛，则

?pn?1n与

?qn?1n敛散性都不定.

(D) 若

?an?1?n绝对收敛，则

?pn?1?n与

?qn?1?n敛散性都不定.

?abb???（4）设三阶矩阵A?bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 [ ] ????bba??(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b?0.

(C) a?b且a+2b=0. (D) a?b且a+2b?0. （5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是 [ ]

(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，

则?1,?2,?,?s线性无关.

(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有

k1?1?k2?2???ks?s?0.

(C) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

(D) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件 [ ]

(A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立. (C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立.

三、（本题满分8分） 设： f(x)?1111??,x?[,1). ?xsin?x?(1?x)2试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.

四 、（本题满分8分）

1212?2f?2f设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又g(x,y)?f[xy,(x?y2)],??1222?u?v?2g?2g求2?. ?x?y2五、（本题满分8分） 计算二重积分 I??(x??eD2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.

其中积分区域D={(x,y)x2?y2??}.

六、（本题满分9分）