练习 九 知识点：磁场与磁感应强度、磁感应线与磁通量、毕—萨定律和安培环路定理及应用 一、选择题
1．半径为R的半圆形细导线中通有电流I，则圆心处的磁感应强度大小为 （ ）
?0I?I?I； (B) 0； (C) 0； (D) 0。 4πR2πR4R???R??Idl?er?0Idl解：(C)由dB?0可知各电流元在圆心处磁感应强度大小为,方向相同,B?dB??0dB 4?R24?r22．半径为R的无限长直圆柱体，沿圆柱体轴向通有电流I，电流在圆柱体横截面上均匀分布。以r表示
(A)
场点到圆柱体轴线的距离，则圆柱体内磁感应强度大小为 （ ）
(A)
?0Ir
2πR2
； (B)
?0I?0I； (C) ； (D) 0。 2πr22πr??I2?r解：(A)根据安培环路定理?B?dl??0?I,作圆心在圆柱轴线上的圆形回路可得B?2?r??0
L?R23?．电量为q的点电荷以速率?作匀速率圆周运动，圆的半径为R，则圆心处的磁感应强度大小为 （ ）
8πR28π2R2????0qv?0qvsin90??er??解：(B)运动电荷的磁感应强度B?,圆周运动v?er,B?; 24?r4?R24．电量均为q的四个点电荷分别固定在边长为a的正方形的四个角上。正?方形以某角速度绕对角线为轴旋转时，在正方形中心产生的磁感应强度大小为B1；以同样角速度绕过中心垂直于正方形平面的轴旋转时，在中心产生的磁感应强度大小为B2，则 （ ） (A) B1?B2； (B) B1?2B2； (C) B1?4B2； (D) B2?2B1。
(A)
?0q?4π2R2； (B)
?0q?4πR2
； (C)
?0q?； (D)
?0q?。
aRa?R解：(D)正方形以某角速度绕对角线为轴旋转时，两个电荷作半径为R的圆周运动;以同样角速度绕过中心垂直于正方形平面的轴旋转时，四个电荷作半径为R的圆周运动
5．一根很长的电缆线由两个同轴的圆柱面导体组成，这两个圆柱面的半径分别为R1和R2（R1?R2），通有等值反向电流，那么下列哪幅图正确反映了电流产生的磁感应强度随径向距离的变化关系？ （ ）
BBBB
oR1R2roR1oR1R2roR1R2rr （A） （B） （C） （D）
??解：(C),根据安培环路定理?B?dl??0?I,作三个圆心在圆柱面轴线上的圆形回路,可得
LB?0,(r?R1)B??0I/(2?r),(R1?r?R2)B?0,(r?R2)
??6．关于安培环路定理?B?dl??0?I，下列哪个是错误的 （ ）
L?B(C) 是穿过闭合路径L的电流产生的总磁感应强度；(D) B是磁场中所有电流产生的总磁感应强度。
???解：(C), ?B?dl??0?I表示磁场中所有电流产生的总磁感应强度B沿任意的闭合aL(A) L表示磁场中任意的闭合路径；(B)
L的电流的代数和； ?I是穿过闭合路径
?I路径L的线积分,等于真空中磁导率乘以穿过闭合路径L的电流的代数和 dbcP二、填空题
1．弯成直角的无限长直导线通有如图中所示方向的电流I，则cb延长线上到ab线距离为d的P点的磁感应强度B? 。解：bc中电流在其延长线上P点产生的磁感应强度为零, P点相对ab为无限长直导线的中垂线上一点, ab中电流在P点产生的磁感应强度为B=?0I/(4?d)
1
2．如图所示的导线框，其中两个共面半圆的半径分别为a和b，且有公共圆心o，当回路中通有电流I时，o处的磁感应强度B? ，方向 。
????0Idl?e?0I?0I?0IrB?B??解：由dB?可求得半圆圆心,,方向垂直纸面向里 半24R4a4b4?r3．边长为a的正方形导线框，通有电流I时导线框中心的磁感应强度B? 。
解：B?4?I?0I?I22?0I?? (sin?2?sin?1)?4?0[sin?sin(?)]?4?d4?a/244?a4．通有电流I的空芯长直螺线管，单位长度的线圈匝数为n，管内中段部分的磁感应强度B? ，螺线管管口中心点的磁感应强度B? 。解：在长直螺线管中段作矩形回路,由安培环路定理??B??dl??0?Ii得?0nI;设想由管口开始向另一侧延长螺线管,使原来的管口位置变成管的中部,?0nI/2
Loba5．无限长直圆柱面，沿圆柱面轴向通有电流I，电流均匀分布。以r表示场点到圆柱面轴线的距离，则圆柱面内磁感应强度B? ，圆柱面外的磁感应强度B? 。
?I??解：安培环路定理为?B?dl??0?Ii环路在柱面内Ii?0,B?0;环路在柱面外Ii?I,B?0
L??2?r6．两根无限长载流直导线相互平行，通过的电流分别为I1和I2，电流方向如图所示。则
??解:?0(I2?I1),?0(I2?I1).安培环路定理为?B?dl??0?Ii,积分路径的绕行方
L??L1????B?dl? ，??B?dl? 。
L2I1L2L1I2向与电流成右手螺旋时,电流为正,反之为负.
三、计算题
1．两根长直导线沿半径方向引到电阻均匀的圆形铁环上的A、B两点，并与很远的电源相连，如图所示，求环中心的磁感应强度。 I1解:两根长直导线在其延长线上的O点不产生磁场.设优弧长为l1,其中电流为I1, 设劣弧长为l2,其中电流为I2.优弧、劣弧两端电压相等:I1R1?I2R2 因电阻与长度成正比,因此 I1l1?I2l2 优弧中电流I1在O点产生的磁感应强度为 B1l1BR1oR2I2AI??dB1??l10l2?0I1?0I1l1dl?4?R24?R2,方向垂直纸面向里
劣弧中电流I2在O点产生的磁感应强度为 B2??l2dB2??0?0I2?0I2l2dl?,方向垂直纸面向外 4?R24?R2I1?0I1l1?0I2l2??0 O点总的磁感应强度为B?B1?B2?224?R4?R2．边长为l、电阻均匀的正三角形金属框在两个角上分别与长直导线1和2相连，两
根长直导线相互垂直，长直导线2正好处于底边bc的延长线上，电流I从长直导线1
I经a点流入三角形框，再由c点流出三角形框。求正三角形中心处O的磁感应强度。
22．解：ac中电流在O处产生的磁感应强度为:
aI1I2I2bc?0I1?I3?0I1(sin?2?sin?1)?01[sin60??sin(?60?)]?,方向垂直纸面向外 4?d4?d4?d3?0I2ab、bc中电流在O处产生的磁感应强度为:,Bab?Bbc?,方向垂直纸面向内
4?d因I1?2I2,abc中电流在O处产生的磁感应强度 Bac?Bab?Bbc?0
Bac?导线1中电流在在其延长线上的O点不产生磁场,因此只需考虑导线2中电流在O的磁感应强度
B??0I?I?I2?3(sin?2?sin?1)?0(sin90??sin60?)?0 4?d4?d4?d2 2
式中d为正三角形中心到长直导线2的距离，d?l3?tan30??l，所以 26?I3)?0(23?3)
4?3l24?l3．宽为a的无限长导体薄平板，通有电流I，电流在板的宽度方向均匀分布。计算导体板平面内离开板一侧距离为b的P点处的磁感应强度。
a3．解：建立x轴，在导体上坐标x处取宽度为dx的窄条，其电流强度为dI=Idx/a。
?0dI?0IdI在P点的磁感应强度:dB??dx 方向垂直于纸
2π(a?b?x)2π(a?b?x)aIb面向里.根据磁场叠加原理，P点的磁感应强度
a?0I?Ia?boPxxB??dB??dx?0ln,方向垂直于纸面向里。 02π(a?b?x)a2πab4?．无限大导体薄平板均匀地通有同方向电流，导体板上垂直于电流方向单位长度的电流强度为j，求导体板平面外任意一点P处的磁感应强度。 y?dBydB4．解：由P点向导体板作垂线，以垂足点o为原点建立直角坐标系，如
dy图所示，电流垂直于纸面（oxy平面）向外。在薄板上坐标y处取宽度
y?rj为dy的窄条，其电流强度dI?jdy.
o?0dI?0jxPdBxxdI在P点的磁感应强度大小dB??dy
2πr2πrxxd? 由几何关系可知，r?，y?xtan?，dy?cos?cos2?ππ?0jd??j?j?j0所以 dB?,Bx??dBx??2πtan?d??0; B=By=?dBy??2π0d??0
?2π?2π2?co?s2225．无限长导体薄平板，弯成半径为R的无限长半圆柱面。沿长度方向有电流I通过，且在横截面上均匀分布。求圆柱面轴线上任意一点P处的磁感应强度。
y5．解：以P点为坐标原点建立平面直角坐标系,xy平面垂直于轴线，电流垂直于xy平
面向内。将圆柱面分成许多宽度为dl?Rd?的无限长窄条，其电流强度dI?Id?/?。d?R?P由无限长直导线电流磁场公式，dI在点的磁感应强度 ? ?dB?dI?0Idl?0Id?xP?? dB?0 2222?R2?R2?R?0Id??0Id??0Id??0Id???dB?sin(90??)?cos? ,dBx?cos(90??)??2sin?y2222?R2?R2?R2?R???Id??Id??0IBy??dBy??02cos??0,B?Bx??dBx???02sin???2,
002?R2?R?R6．通有电流I的无限长直导线与长和宽分别为a和b的矩形线框处于同一平面内，长直导线与矩形线框一条边平行，且两者之间距离为c，如图所示。计算通过矩形线框的磁通量。
6．解：并行于电流方向在矩形线框上离开长直导线距离为r处取宽度为dr的窄条。根据无限长直导线电
?I流磁场公式，该处的磁感应强度B?0。
2πrIcr?0Iadr 通过该窄条的磁通量 d??BdS?drb2πrab?c?I?0Iab?c0adr?ln通过矩形线框的磁通量 ???d???
c2πr2πcB?(1?
3
?0I6