第一章函数、极限与连续

内容概要

名称 邻 域 主要内容（1.1、1.2） U?a,???xx?a????（即U?a,?（U0????xa???x?a??? ） ?a,????xa???x?a??,x?0?）由此，两函数相等?两要素相同；（与自变量用何字母表示无关） U0?a,???x0?x?a??两个要素：对应法则?f以及函数的定义域D 解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数； 局 部 局部 有界 性 对集合X?D，若存在正数M上有界，或，使对所有x?X，恒有f?x??M，称 函数f?x?在Xf?x?是X上的有界函数；反之无界，即任意正数 函 数 函 数 M（无论M多大），总存在（能找到）x0?X，使得f?x0??M 区间I?D，对区间上任意两点x1x2，当x1?x2时，恒有： 特 单 性 调 性 f?x1??f?x2?，称函数在区间I反之，若上是单调增加函数； 上是单调减小函数； f?x1??f?x2?，则称函数在区间I 奇偶性 设函数则称f?x?的定义域D关于原点对称；若?x?D，恒有f??x??f?x?， f?x?是偶函数；若?x?D，恒有f??x???f?x?，则称f?x?是奇 函数； 周期性 若存在非零常数T，使得对?x?D，有?x?T??D，且 f?x?T??f?x?，则称f?x?是周期函数； 初等 函数 几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数； 反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数

课后习题全解

习题1-1

★ 1．求下列函数的定义域：

知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① loga□,（ □?0） ② N/□, （ □?0） ③ ④ arcsin（

(?0)

???1,1?）等

?x?0?x?012解：（1）y??1?x?????x???1,0???0,1?；

2?1?x?1x1?x?0?? （2）

y?arcsinx?1x?1??1??1??1?x?3； 22 （3）

?3?x?0?x?31y?3?x?arctan?????x????,0???0,3?；

x?0x?0x??y?lg3?x?0?3?x?x?3?????x????,?1???1,3?；

0?x?11?x,or,x??1x?1?? （4）

?0?x?1?2?x??1,2???2,4?； （5）y?logx?1(16?x)??1?x?1?0?16?x2?★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？

（1）

（2）y?2x?1与x?2y?1 f(x)?lgx2与g(x)?2lgx；

知识点：函数相等的条件；

思路：函数的两个要素是f（作用法则）及定义域D（作用范围），当两个函数作用法则f相同（化简

后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；

2解：（1）f(x)?lgx的定义域D=xx?0,x?R，g(x)?lgx的定义域D?xx?0,x?R}，

???虽然作用法则相同lgx （2）

2?2lgx，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；

y?2x?1，以x为自变量，显然定义域为实数R；

x?2y?1，以x为自变量，显然定义域也为实数R；两者作用法则相同“2□?1”

与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；

??sinx,x???3★ 3．设?(x)???0,x???3?y??(x)的图形

，求?(?)，?()，?(?)，?(?2)，并做出函数

644??知识点：分段函数；

思路：注意自变量的不同范围； 解：?()?sin??66?1?2???，????sin?242?4?，???2????????sin????2?4??4?

???2??0；如图：

32y 0?3? 3x图1-1-3 ★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：

?3

（1）

y?x???,1? （2）y?2x?lnx，?0,??? 1?x知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的

某个子区间上函数的单调性的问题 。

思路：利用单调性的定义即可。

解： （1）设x1，x2????,1?，当x1?x2时，

y1?y2?（2）设x1，x2x1xx1?x2?2??0，由单调性的定义知是单调增函数；

1?x11?x2?1?x1??1?x2???0,???，x1?x2，

y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?ln??0,???，x1?x2，知

x1x2

由x1，x2x1x，则有 ?1，故ln1?0（对数函数的性质）

x2x2y1?y2?0， 得结论是单调增函数；

★ 5．设

f(x)为定义在??l,l?内的奇函数，若f(x)在?0,l?内单调增加，证明：f(x)在??l,0?