?ζ1?ζ2?S?Q ?ζ3?ζ4?S?Q
ζ1?ζ4?0 ζ2?ζ3?0
解得
ζ1?ζ2??ζ3?ζ4?两导体板间电场强度为E?Q 2SQ；方向为A 指向B． 2ε0SQd 2ε0S两导体板间的电势差为 UAB?（2） 如图（c）所示，导体板B 接地后电势为零．
ζ1?ζ4?0
Qζ2??ζ3?
SQ两导体板间电场强度为E??；方向为A 指向B．
ε0S两导体板间的电势差为 U?AB?Qd ε0S6 －12 如图所示球形金属腔带电量为Q ＞0，内半径为ɑ，外半径为b，腔内距球心O 为r 处有一点电荷q，求球心的电势．
分析 导体球达到静电平衡时，内表面感应电荷－q，外表面感应电荷q；内表面感应电荷不均匀分布，外表面感应电荷均匀分布．球心O 点的电势由
点电荷q、导体表面的感应电荷共同决定．在带电面上任意取一电荷元，电荷元在球心产生的电势
dV?dq
4πε0R由于R 为常量，因而无论球面电荷如何分布，半径为R的带电球面在球心产生的电势为
V???dqq ?s4πεR4πεR00由电势的叠加可以求得球心的电势．
解 导体球内表面感应电荷－q，外表面感应电荷q；依照分析，球心的电势 为
V?qqq?Q ??4πε0r4πε0a4πε0b6 －13 在真空中，将半径为R 的金属球接地，与球心O 相距为r（r ＞R）处放置一点电荷q，不计接地导线上电荷的影响．求金属球表面上的感应电荷总量．
分析 金属球为等势体，金属球上任一点的电势V 等于点电荷q 和金属球表面感应电荷q′在球心激发的电势之和．在球面上任意取一电荷元ｄq′，电荷元可以视为点电荷，金属球表面的感应电荷在点O 激发的电势为
V???点O 总电势为
dq?
s4πεR0V0?q?V? 4πε0r而接地金属球的电势V0 ＝0，由此可解出感应电荷q′．
解 金属球接地，其球心的电势
V?感应电荷总量
qdq?q1????dq??0 ?ss4πε0r4πε0R4πε0r4πε0RRq??dq???q
r6 －14 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．解 由于地球半径R1 ＝6.37×10 m；电离层半径R2 ＝1.00×10 m ＋R1 ＝6.47 ×10 m，根据球形电容器的电容公式，可得
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5
6
C?4πε0R1R2?4.58?10?2R2?R1F
6 －15 两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距0.50 m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容． 解 由教材第六章6 －4 节例3 可知两输电线的电势差
U?因此，输电线单位长度的电容
λd?R lnπε0Rλd?Rd?πε0/ln?πε0/ln URR?12代入数据 C?5.52?10F
C?6 －16 电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底 板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。假设金属片面积为50.0 mm ，两金属片之间的距离是0.600 mm。如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？
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分析 按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离： 解 按下按键时电容的变化量为
?11?ΔC?ε0S???
?dd0?按键按下的最小距离为
2ΔCd0minΔdmin?d0?d??0.152mm
d0ΔC?ε0S6 －17 盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为R1 的长直导线作为一个电极，半径为R2 的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率εｒ ≈1 的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量．如以E1 表示半径为R1 的长直导线附近的电场强度．（1） 求两极间电势差的关系式；（2） 若E1 ＝2.0 ×10 V· m ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm，两极间的电势差为多少？
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分析 两极间的电场可以近似认为是无限长同轴带电圆柱体间的电场，由于电荷在圆柱面上均匀分布，电场分布为轴对称．由高斯定理不难求得两极间的电场强度，并利用电场强度与电势差的积分关系U?间的电势差．
解 （1） 由上述分析，利用高斯定理可得E?2πrL?电场强度
?R2R1E?dl 求出两极
1λL，则两极间的ε0E?导线表面（r ＝R1 ）的电场强度
λ 2πε0rλ
2πε0R1λRdr?R1E1ln2 2πε0rR1E1?两极间的电势差
U??E?dr??R1R2R2R1（2） 当E1?2.0?10V?m ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm 时，
6?1U?2.52?103V
6 －18 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm ，厚度为0.10 mm．把平行
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