平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度．

解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容

C?εrε0S?1.53?10?9F d（2） 电容器加上U ＝12 V 的电压时，极板上的电荷

Q?CU?1.84?10?8C

极板上自由电荷面密度为

ζ0?晶片表面极化电荷密度

Q?1.84?10?8C?m-2 S?1????1??ζ0?1.83?10?4C?m-2 ζ0?εr?（3） 晶片内的电场强度为

E?U?1.2?105V?m-1 d－８

6 －19 如图所示，半径R ＝0.10 m 的导体球带有电荷Q ＝1.0 ×10C，

导体外有两层均匀介质，一层介质的εr＝5.0，厚度d ＝0.10 m，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1） 离球心为r ＝5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E；（2） 离球心为r ＝5 cm、15 cm、25 cm 处的V；（3） 极化电荷面密度ζ′．

分析 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 呈均匀对称分布，由高斯定理D?dS???q0可得D（r）．再由

E?D/ε0εr可得E（r）．

介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系V?者由电势叠加原理求得．

极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度ζ??pa． 解 （1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得 r ＜R D1?4πr?0

2??rE?dl求得，或

D1?0；E1?0

2R ＜r ＜R ＋d D2?4πr?Q

D2?QQ； E?24πr24πε0εrr2QQ； E?324πr24πε0εrrr ＞R ＋d D3?4πr2?Q

D3?将不同的r 值代入上述关系式，可得r ＝5 cm、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外． r1 ＝5 cm，该点在导体球内，则

Dr1?0；Er1?0

r2 ＝15 cm，该点在介质层内，ε

ｒ

＝5.0，则

Dr2?QQ?8?22?1； ?3.5?10C?mE??8.0?10V?mr2224πr24πε0εrr2r3 ＝25 cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε0 ，则

Dr3?QQ?8?2；?1.3?10C?mE??1.4?102V?m?1 r3224πr34πε0r2（2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 r3 ＝25 cm，

V3??E3?dr?r1?Q?360V 4πε0rE3?drr2 ＝15 cm，

V2???R?dr2E2?dr???R?dQQQ??

4πε0εrr24πε0εr?R?d?4πε0?R?d??480Vr1 ＝5 cm，

V1???R?dRE2?dr???R?dE3?drQQQ ??4πε0εrR4πε0εr?R?d?4πε0?R?d??540V（3） 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε ＝ε0 ，

极化电荷可忽略．故在介质外表面；

Pn??εr?1?ε0En?ζ?Pn?在介质内表面：

?εr?1?Q24πεr?R?d??εr?1?Q

24πεr?R?d??1.6?10?8C?m?2

Pn??εr?1?ε0En?ζ???Pn?4πεrR2?εr?1?Q

4πεrR2?εr?1?Q??6.4?10?8C?m?2

介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号．

6 －20 人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。设某细胞壁厚为5.2 ×109 m，两表面所带面电荷密度为±5.2 ×10 C／m ，内表面为正电

－

－3

2

荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度E?ζ方向指向细胞外． ?9.8?106V/m；

ε0εr?2（2） 细胞壁两表面间的电势差U?Ed?5.1?10V．

--2

6 －21 一平板电容器，充电后极板上电荷面密度为σ0 ＝4.5×105 C· m．现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为εｒ ＝2.0 的电介质插入两极板之间．此时电介质中的D、E 和P 各为多少？

分析 平板电容器极板上自由电荷均匀分布，电场强度和电位移矢量都是常

矢量．充电后断开电源，在介质插入前后，导体板上自由电荷保持不变．取图所示的圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可求得电位移矢量D，再根据

E?D，P?D??0E ε0εr可求得电场强度E 和电极化强度矢量P． 解 由分析可知，介质中的电位移矢量的大小

D?Q?ζ0?4.5?10?5C?m?2 ΔS介质中的电场强度和极化强度的大小分别为

E?D?2.5?106V?m?1 ε0εrP?D?ε0E?2.3?10?5C?m?1

D、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）． 6 －22 在一半径为R1 的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2 ，相对电容率为εｒ ．设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ．试求介质层内的D、E 和P．

分析 将长直带电导线视作无限长，自由电荷均匀分布在导线表面．在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布，所以电场是轴对称分布．取同轴柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得电