人教版 高中数学【选修 2-1】《第二章圆锥曲线与方程》高考真题 下载本文

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第二章 圆锥曲线与方程

本章归纳整合 高考真题

1.(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 ( ).

A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x

解析 由准线方程为x=-2,可知抛物线的焦点在x轴正半轴上,且p=4,所以抛物线 的方程为y2=2px=8x. 答案 C

2.(2011·安徽高考)双曲线( ).

A.2 B.22 C.4 D.42

x2y2

解析 双曲线方程可变形为-=1,所以a2=4,a=2,从而2a=4,故选C.

48答案 C

3.(2011·广东高考)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为

( ).

A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆

解析 设圆C的半径为r,则圆心C到直线y=0的距离为r.由两圆外切可得,圆心C到 点(0,3)的距离为r+1,也就是说,圆心C到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,

故点C到点(0,3)的距离和它到直线y=-1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C的

2x2-y2=8

的实轴长是

轨迹为抛物线. 答案 A

y2x2

4.(2011·江西高考)若双曲线-=1的离心率e=2,则m=________.

16m

解析 由题意知a2=16,即a=4,又e=2,所以c=2a=8,则m=c2-a2=48. 答案 48

5.(2011·全国课标卷)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为2

.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的2

方程为__________.

x2y22c2

解析 设椭圆方程为2+2=1(a>b>0),由e=知=,

ab2a2b21

故2=. a2

由于△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+ |BF2|=4a=16,故a=4. ∴b2=8.

x2y2

∴椭圆C的方程为+=1.

168x2y2

答案 +=1

168

6.(2011·陕西高考) 如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点4

D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.

5(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程; 4

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.

5解 (1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP), x=x,??P

由已知得?5

y=??P4y.∵P在圆上,

52x2y2

∴x+(y)=25,即轨迹C的方程为+=1.

42516

2

44

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),

55设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

4

将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得

5x2(x-3)+=1, 2525即x2-3x-8=0.

3-413+41∴x1=,x2=.

22∴线段AB的长度为

|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=16(1+)(x1-x2)2=

25

4141×41=. 255

2

7.(2011·福建高考) 如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A. (1)求实数b的值;

(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

?y=x+b?

解 (1)由?2得x2-4x-4b=0(*),

??x=4y

因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1. (2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0,解得x=2, 代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).

因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2, 所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.

x2y2

8.(2011·江西高考)P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:2-2=1(a>0,b>0)上一点,M,N分

ab1

别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.

5(1)求双曲线的离心率;

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为→→→

双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求λ的值.

x2y2x02y02

解 (1)点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线2-2=1(a>0,b>0)上,有2-2=1.

ababy0y01

由题意又有·=,

x0-ax0+a5

即x02-5y02=a2,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,