复杂数列的求和问题

一、考情分析

数列求和是历年高考命题的热点，可以以客观题形式考查，也可以以解答题形式考查数列，公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题. 二、经验分享

1.分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．

??bn，n为奇数，

(2)通项公式为an＝??cn，n为偶数?

的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求

和法求和．

【小试牛刀】【福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查】已知数列?bn?满足

，则该数列的前23 项的和为（ ）

A. 4194 B. 4195 C. 2046 D. 2047 【答案】A

(三) 裂项相消法

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：○1余下的项前后的位置前后是对称的．○2余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项方法： 【 例3】在等差数列?an?中，公差d?0，a1?7，且a2，a5，a10成等比数列. ⑴求数列?an?的通项公式及其前n项和Sn； ⑵若bn?5，求数列?bn?的前n项和Tn.

an?an?1 a5 ， a10成等比数列??7?d?【分析】⑴由a2 ，?d?2?an?2n?5

??；⑵由⑴可得

.

【点评】(1)裂项相消法求和的原理及注意问题

①原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． ②注意：在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．

?1?1dan＋1－an??

③一般地，若{an}为等差数列，则求数列?anan＋1?的前n项和可尝试此方法，事实上，anan＋1＝danan＋1＝danan＋1

1?1?1

?＝d·?an－an＋1??. 则故选：C．

2．【江西省南昌市第二中学2019届高三第六次考试】已知数列则

的前40项的和为（ ）

满足：

，

；

A．860 B．1240 C．1830 D．2420 【答案】B

3．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末】设数列

，若

表示不超过的最大整数，则

满足（ ）

，，且

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】C 【解析】

∵an+2﹣2an+1+an＝2，∴an+2﹣an+1﹣（an+1﹣an）＝2，

a2﹣a1＝4．

∴{an+1﹣an}是等差数列，首项为4，公差为2． ∴an+1﹣an＝4+2（n﹣1）＝2n+2．

∴n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1 ＝2n+2（n﹣1）+……+2×2+2∴∴∴故选：C．

4．【江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测】已知函数的图像经过点A．2019 B．【答案】B

，令

，则

（其中

）

．

1．

2+2018＝2020．

n（n+1）．

C．6057 D．

5．【广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知函数

，则

A． B．

C．

D．

( )

，且