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2017年中考数学复习专题突破《最值问题》测试题(含答案) 最值问题八 (针对陕西中考最值问题) 一、填空题 1．(导学号 30042252)在半⊙O中，点C是半圆弧AB的中点，点D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点，点P是直径AB上的动点，若AB＝10，则PC＋PD的最小值是__53__. ,第1题图) ,第2题图) 2．(导学号 30042253)如图，AB 是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则GE＋FH的最大值为__212__． 3．(导学号 30042254)如图，在反比例函数y＝6x上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直线y＝－x上有一动点P，当P点的 坐标为__(43，－43)__时，PA＋PB有最小值． 点拨：设A点关于直线y＝－x的对称点为A′，连接A′B，交直线y＝－x为P点，此时PA＋PB有 最小值，∵A(3，2)，∴A′(－2，－3)，设直线A′B的直线解析式为y＝kx＋b，－3＝－2k＋b，1＝6k＋b，解得k＝12，b＝－2，∴直线A′B的直线解析式为y＝12x－2，联立y＝12x－2，y＝－x，解得x＝43，y＝－43，即P点坐标(43，－43)，故答案为(43，－43) 二、解答题 4．(导学号 30042255)已知点M(3，2)，N(1，－1)，点P在y轴上，求使得△PMN的周长最小的点P的坐标． 解：作出M关于y轴的对称点M′，连接NM′，与y轴相交于点P，则P点即为所求，设过NM′两点的直线解析式为y＝k x＋b(k≠0)，则2＝－3k＋b，－1＝k＋b，解得k＝－34，b＝－14，故此一次函数的解析式为y＝－34x－14，因为b＝－14，所以P点坐标为(0，－14) 5． (导学号 30042256)(2015?宁德)如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB 上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为多少． 解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′， ON′，OM，ON，∵N关于AB的对称点为N′， ∴MN′与AB的交点P′即为△PMN 周长最小时的点，∵N是弧MB的中点， ∴∠A＝∠NOB＝∠MON＝20°， ∴∠MON′＝60°， ∴△MON′为等边三角形，∴MN′＝OM＝4, ∴△PMN周长的最小值为4＋1＝5

6．(导学号 30042257)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－

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3，0)，B(1，0)，C(0 ，3)三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H. (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值． 解：(1)把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，a＋b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，c＝3，解得a＝－1，b＝－2，c＝3，即抛物线的解析式是y＝－x2－2x＋3 (2)如图，△PBC的 周长＝PB＋PC＋BC，∵BC是定值，∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．A，B两点关于对称轴对称，连接AC，交对称轴于点P，点P即为所求， ∵AP＝BP，△PBC的最小周长＝PB＋PC＋BC＝AC＋BC，∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴AC＝32，BC＝10，∴△PBC的最小周长＝32＋10

7．(导学号 30042258)小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使得AP＋BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B关于直线m的对称点B′，(b)连接AB′与直线m交于点P，则点P即为所求． 请你参考小明的做法解决下列问题： (1)如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一 点P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得B P＋PE的值最小，并求出最小值； (2)如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，G为边AD上的中点，若E，F为AB边上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF＝1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图3中确定点E，F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF的周长的最小值． 解：(1)如答图2，作点E 关于 AD的对称点F，交AC于点 F，连接BF，交AD 于点P，连接PE, 点P即为所求. 在等边△ABC中， AB＝2，点E是AB 的中点，AD是高，∴F是AC的中点，∴BF⊥AC于点F, ∴BP＋PE的最 小值＝BF＝22－12＝3 (2)如答图3，作点G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝1，连接MH，交AB于点E，在BE上截取EF＝1，连接CF，则E，F为所求，∵AB＝4，BC＝6, G为边AD上的中点，∴DG＝GA＝AM＝3，∵AE∥DH，∴△MAE∽△MDH，∴AEDH＝AMDM，∴AE3＝39，∴AE＝1，∴在Rt△GAE，Rt△CBF，Rt△CDG中，分别由勾股定理得，GE＝AE2＋AG2＝12＋32＝10，CF＝BF2＋BC2＝22＋62

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＝210，CG＝DG2＋DC2＝5, ∴四边形GEFC的周长的最小值＝GE＋EF＋FC＋CG＝10＋1＋210＋5 ＝6＋310 8．(导学号 30042259)如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底的等腰三角形． (1)求点P的坐标； (2)当a为多少时，四边形PMEF周长最小. 解：(1)∵y＝－x2＋4x＋5与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，5)，又∵M(0，1)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±6，∵点P在第一象限，∴P(2＋6，3) (2)四边形PMEF的四条边中，PM，EF长度固定，因此只要ME＋PF最小，则PMEF的周长将取得最小值， 将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，－1)，连接PM2与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小，设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P( 2＋6，3)，M2(1，－1)代入得：（2＋6）m＋n＝3，m＋n＝－1，解得：m＝46－45，n＝－46－15，∴y＝46－45x－46＋15，当y＝0时，解得x＝6＋54.∴F(6＋54，0)，∵F(a ＋1，0)，∴a＝6＋14，∴a＝6＋14时，四边形PMEF周长最小