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2017年中考数学复习专题突破《最值问题》测试题(含答案) 最值问题八 (针对陕西中考最值问题) 一、填空题 1.(导学号 30042252)在半⊙O中,点C是半圆弧AB的中点,点D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点,点P是直径AB上的动点,若AB=10,则PC+PD的最小值是__53__. ,第1题图) ,第2题图) 2.(导学号 30042253)如图,AB 是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与⊙O交于G,H两点,若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为__212__. 3.(导学号 30042254)如图,在反比例函数y=6x上有两点A(3,2),B(6,1),在直线y=-x上有一动点P,当P点的 坐标为__(43,-43)__时,PA+PB有最小值. 点拨:设A点关于直线y=-x的对称点为A′,连接A′B,交直线y=-x为P点,此时PA+PB有 最小值,∵A(3,2),∴A′(-2,-3),设直线A′B的直线解析式为y=kx+b,-3=-2k+b,1=6k+b,解得k=12,b=-2,∴直线A′B的直线解析式为y=12x-2,联立y=12x-2,y=-x,解得x=43,y=-43,即P点坐标(43,-43),故答案为(43,-43) 二、解答题 4.(导学号 30042255)已知点M(3,2),N(1,-1),点P在y轴上,求使得△PMN的周长最小的点P的坐标. 解:作出M关于y轴的对称点M′,连接NM′,与y轴相交于点P,则P点即为所求,设过NM′两点的直线解析式为y=k x+b(k≠0),则2=-3k+b,-1=k+b,解得k=-34,b=-14,故此一次函数的解析式为y=-34x-14,因为b=-14,所以P点坐标为(0,-14) 5. (导学号 30042256)(2015?宁德)如图,AB是⊙O的直径,AB=8,点M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB 上的一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为多少. 解:作N关于AB的对称点N′,连接MN′,NN′, ON′,OM,ON,∵N关于AB的对称点为N′, ∴MN′与AB的交点P′即为△PMN 周长最小时的点,∵N是弧MB的中点, ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°, ∴∠MON′=60°, ∴△MON′为等边三角形,∴MN′=OM=4, ∴△PMN周长的最小值为4+1=5

6.(导学号 30042257)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-

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3,0),B(1,0),C(0 ,3)三点,其顶点为D,对称轴与x轴交于点H. (1)求抛物线的解析式; (2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点,求△PBC周长的最小值. 解:(1)把A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点坐标代入y=ax2+bx+c中,a+b+c=0,9a-3b+c=0,c=3,解得a=-1,b=-2,c=3,即抛物线的解析式是y=-x2-2x+3 (2)如图,△PBC的 周长=PB+PC+BC,∵BC是定值,∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小.A,B两点关于对称轴对称,连接AC,交对称轴于点P,点P即为所求, ∵AP=BP,△PBC的最小周长=PB+PC+BC=AC+BC,∵A(-3,0),B(1,0),C(0,3),∴AC=32,BC=10,∴△PBC的最小周长=32+10

7.(导学号 30042258)小明在学习轴对称的时候,老师留了一道思考题:如图1,若点A,B在直线m的同侧,在直线m上找一点P,使得AP+BP的值最小,小明通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确方法,他的做法是这样的:(a)作点B关于直线m的对称点B′,(b)连接AB′与直线m交于点P,则点P即为所求. 请你参考小明的做法解决下列问题: (1)如图2,在等边△ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一 点P(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),使得B P+PE的值最小,并求出最小值; (2)如图3,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,G为边AD上的中点,若E,F为AB边上的两个动点,点E在点F的左侧,且EF=1,当四边形CGEF的周长最小时,请你在图3中确定点E,F的位置(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),并求出四边形CGEF的周长的最小值. 解:(1)如答图2,作点E 关于 AD的对称点F,交AC于点 F,连接BF,交AD 于点P,连接PE, 点P即为所求. 在等边△ABC中, AB=2,点E是AB 的中点,AD是高,∴F是AC的中点,∴BF⊥AC于点F, ∴BP+PE的最 小值=BF=22-12=3 (2)如答图3,作点G关于AB的对称点M,在CD上截取CH=1,连接MH,交AB于点E,在BE上截取EF=1,连接CF,则E,F为所求,∵AB=4,BC=6, G为边AD上的中点,∴DG=GA=AM=3,∵AE∥DH,∴△MAE∽△MDH,∴AEDH=AMDM,∴AE3=39,∴AE=1,∴在Rt△GAE,Rt△CBF,Rt△CDG中,分别由勾股定理得,GE=AE2+AG2=12+32=10,CF=BF2+BC2=22+62

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=210,CG=DG2+DC2=5, ∴四边形GEFC的周长的最小值=GE+EF+FC+CG=10+1+210+5 =6+310 8.(导学号 30042259)如图,抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.△PCM是以CM为底的等腰三角形. (1)求点P的坐标; (2)当a为多少时,四边形PMEF周长最小. 解:(1)∵y=-x2+4x+5与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,5),又∵M(0,1),△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,∴点P的纵坐标为3,令y=-x2+4x+5=3,解得x=2±6,∵点P在第一象限,∴P(2+6,3) (2)四边形PMEF的四条边中,PM,EF长度固定,因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将取得最小值, 将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1),作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,-1),连接PM2与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小,设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P( 2+6,3),M2(1,-1)代入得:(2+6)m+n=3,m+n=-1,解得:m=46-45,n=-46-15,∴y=46-45x-46+15,当y=0时,解得x=6+54.∴F(6+54,0),∵F(a +1,0),∴a=6+14,∴a=6+14时,四边形PMEF周长最小