(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明

(1) (A-B)-C=(A?～B) ?～C= A?( ～B?～C)= A?～(B?C) =A- B?C (2) (A-C)-(B-C)=(A?～C) ?～(B ?～C)= (A?～C) ?(～B?C)

=(A?～C?～B) ? (A?～C?C)= (A?～C?～B) ?? = A?～(B?C) =A- B?C 由（1）得证。

第七章部分课后习题参考答案

7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA. 解：IA ={<2，2>,<3,3>,<4,4>}

EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}

LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} DA={<2,4>}

13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}

求A?B,A?B, domA, domB, dom(A?B), ranA, ranB, ran(A?B ), fld(A-B). 解：A?B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A?B={<2,4>}

domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4}

ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A?B)={4}

A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}

求R?R, R-1, R?{0,1,}, R[{1,2}] 解：R?R={<0,2>,<0,3>,<1,3>}

R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}

R?{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}

16．设A={a,b,c,d}，R1，R2为A上的关系，其中

R1=?a,a,a,b,b,d?

求RR231oR2,2oR1,R1,R2。

解: R1?R2={,,} R2?R1={}

R21=R1?R1={,,} R22=R2?R2={,,} R32=R2?R22={,,}

36．设A={1，2，3，4}，在A?A上定义二元关系R，

?,?A?A ，〈u,v> R ?u + y = x + v. (1)证明R 是A?A上的等价关系. (2)确定由R 引起的对A?A的划分. （1）证明：∵R ?u+y=x-y

∴R?u-v=x-y

??A?A ∵u-v=u-v ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 如果R ，那么u-v=x-y ∴x-y=u-v ∴R ∴R是对称的

任意的,,∈A×A 若R,R 则u-v=x-y,x-y=a-b ∴u-v=a-b ∴R ∴R是传递的 ∴R是A×A上的等价关系

(2) ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>},

{<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }

41.设A={1，2，3，4}，R为A?A上的二元关系, ?〈a，b〉，〈c，d〉? A?A , 〈a，b〉R〈c，d〉?a + b = c + d (1) 证明R为等价关系. (2)求R导出的划分. (1)证明：?

a+b=a+b ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 设R，则a+b=c+d ∴c+d=a+b ∴R ∴R是对称的

任意的,,∈A×A 若R,R 则a+b=c+d,c+d=x+y ∴a+b=x+y ∴R ∴R是传递的

∴R是 A×A上的等价关系

(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}} 43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:

(1) {1,2,3,4,6,8,12,24}

(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解:

(1) (2)

45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系Rp的集合表达式.

(a) (b) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}

Rp={,,,,,,,,,}?IA

(b) A={a,b,c,d,e,f,g}

Rp={,,,,,,}?IA

46.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元`极小元`最大元和最小元.

(1)A={a,b,c,d,e}

Rp={,,,,,,}?IA. (2)A={a,b,c,d,e}, Rp={}?IA. 解:

(1) (2)

项目 (1) (2) 极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无

第八章部分课后习题参考答案

1．设f :N?N,且

?1，若x为奇数? f (x)=?x

若x为偶数?2，?求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},

f ({0,2,4,6,…})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的哪些是单射的哪些是双射的 (1) f:N?N, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射

(2) f:N?N,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数 不是满射，不是单射

?1，若x为奇数 (3) f:N?N,f(x)=? 不是满射，不是单射

?0，若x为偶数?0，若x为奇数 (4) f:N?{0,1},f(x)=? 是满射，不是单射

?1，若x为偶数 (5) f:N-{0}?R,f(x)=lgx 不是满射，是单射 (6) f:R?R,f(x)=x2-2x-15 不是满射，不是单射

5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,,,}判断以下命题的真假: (1)f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数; 对 (2)f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的; 错 (3)f是从X到Y的满射,但不是单射; 错 (4)f是从X到Y的双射. 错

第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合Z?和普通的除法运算。不封闭

（3） 全体n?n实矩阵集合Mn（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n≥2。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；

乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n≥2。不封闭 （5）正实数集合R+和 ° 运算，其中 ° 运算定义为：

a，b ∈R+，a ° b = ab?a?b

不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R?

（6）n ∈Z+,nZ={nz | z ∈ Z }.nZ关于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；

乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1 （7）A = {a1,a2,?,an} n≥2.° 运算定义如下：

a，b ∈ A，a ° b = b

封闭 不满足交换律，满足结合律，

（8）S = {2x?1|x∈Z+}关于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S = {x | x=2n,n∈Z+} ,S关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律