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第二章 2.3 2.3.4 平面向量基本定理

A级 基础巩固

一、选择题

1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( C ) A．－2 C．－2或2

B．2 D．0

2

[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m，即m＝2或m＝－2． →

2．已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB∥a，则实数y的值为( C ) A．5 C．7

→→

[解析] AB＝(3，y－1)，又AB∥a， 所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7．

→→

3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( A ) A．(－7，－4) C．(－1,4)

B．(7,4) D．(1,4) B．6 D．8

→

[解析] 设C(x，y)，∵A(0,1)，AC＝(－4，－3)，

??x＝－4，∴?

?y－1＝－3，?

??x＝－4，

解得?

?y＝－2，?

→

∴C(－4，－2)，又B(3,2)，∴BC＝(－7，－4)，选A．

31

4．已知向量a＝(，sinα)，b＝(sinα，)，若a∥b，则锐角α为( A )

26A．30° C．45°

3112

[解析] ∵a∥b，∴sinα＝×＝，

2641

∴sinα＝±．

2

∵α为锐角，∴α＝30°．

5．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( B ) A．－6 C．2

B．6 D．－2 B．60° D．75°

[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6．

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6．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( A ) 1A．－

2C．2

1B． 2D．－2

[解析] 2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，

a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)

∵(2a＋b)∥(a－mb)

1

∴－1＝(1＋3m)×2∴6m＝－3，解得m＝－ 2二、填空题

17．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为 ．

2[解析] a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a＋λb)∥c，

1

∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝．

2

8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为__λ＝u__． [解析] ∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)， ∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，

λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)． 又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，

∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0.∴λ＝u． 三、解答题

9．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k．

[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．

(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，

∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．

??－m＋4n＝3，∴?

?2m＋n＝2.?

5

m＝，??9解得?8

n＝??9.

58

∴m＝，n＝．

99

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(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)． 又∵(a＋kc)∥(2b－a)，

∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0． 16

∴k＝－．

13

→→→

10．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－x，－3－y)． (1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件． →→

(2)若AC＝2BC，求x，y的值．

[解析] (1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线． →→

由OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)， →→

OC＝(5－x，－3－y)得 AB＝(3,1)，AC＝(2－x,1－y)，

所以3(1－y)＝2－x．

所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0． →

(2)BC＝(－x－1，－y) →→由AC＝2BC得

(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，

??2－x＝－2x－2，所以?

?1－y＝－2y，?

→

??x＝－4，

解得?

?y＝－1.?

B级 素养提升

一、选择题

1．已知向量a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，则a和b的关系是( B ) A．共线且方向相同 C．是相反向量

B．共线且方向相反 D．不共线

22

[解析] 因为a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，所以a＝－b，由于λ＝－<0，故a和b共线且方向相反．

332．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( D ) A．k＝1且c与d同向 C．k＝－1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向 D．k＝－1且c与d反向

??k＝λ，

[解析] ∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴?

?1＝－λ，?

??λ＝－1，

∴?

?k＝－1.?

.

∴c＝－d，∴c与d反向．

3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( D ) A．－2

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B．0