2014广州二模理科数学试题和答案WORD

17．（本小题满分12分）

(1) 解：由题意，得?0.02?0.032?x?0.018??10?1， ……………1分 解得x?0.03. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为

X?0.2?10?0.32?20?0.3?30?0.18?40?24.6（克）. ……………3分

由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分

（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在?5,15?内的概率为0.2，则??1?B?3,?. ?5? ……………5分 ?的取值为0,1,2,3， ……………6分

6448?4?1?1??4? P???0??C???，P???1??C3， ??????125?5??5??5?1250332121?4?2?1?3?1? P???2??C3，. ……………10分 ??P??3?C???3??????551255125?????? ∴?的分布列为：

233 0 1 2 ?

12 P 64 48 1

125125125125

……………11分

64481213?1??2??3??. ……………12分 125125125125513 （或者E??3??）

55∴E??0?18．（本小题满分14分）

（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM?MB?1，

∵EF∥平面ABCD，EF?平面ABFE，平面ABCD平面ABFE?AB， ∴EF∥AB，即EF∥MB. ……………1分 ∵EF?MB?1

∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分 ∴EM∥FB，EM?FB.

在Rt△BFC中，FB?FC?BC?4，又FB?FC，得FB? ∴EM?2222. 2. ……………3分

3，AM?1，EM?2，

2 在△AME中，AE?22 ∴AM?EM?3?AE，

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∴AM?EM. ……………4分 ∴AM?FB，即AB?FB. ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB?BC. ……………5分 ∵FBBC?B，FB?平面BCF，BC?平面BCF，

∴AB?平面BCF. ……………6分 （2）证法1：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点， 取BC的中点H，连接OH,EO，FH， 则OH∥AB，OH?E1AB?1. 2DC1 由（1）知EF∥AB，且EF?AB，

2HO ∴EF∥OH，且EF?OH.

AMB ∴四边形EOHF是平行四边形.

∴EO∥FH，且EO?FH?1 .……………7分 由（1）知AB?平面BCF，又FH?平面BCF，

∴FH?AB. ……………8分

∵FH?BC，ABFBC?B,AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，

∴FH?平面ABCD. ……………9分 ∴EO?平面ABCD. ∵AO?平面ABCD，

∴EO?AO. ……………10分 ∵AO?BD，EOBD?O,EO?平面EBD，BD?平面EBD，

∴AO?平面EBD. ……………11分 ∴?AEO是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分 在Rt△AOE中，tan?AEO?AO?2. ……………13分 EO ∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2. ……………14分 证法2：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点， 取BC的中点H，连接OH,EO，FH， 则OH∥AB，OH?EFz1AB?1.

D21 由（1）知EF∥AB，且EF?AB， HO2B ∴EF∥OH，且EF?OH. AMx ∴四边形EOHF是平行四边形.

∴EO∥FH，且EO?FH?1. ……………7分 由（1）知AB?平面BCF，又FH?平面BCF， ∴FH?AB.

∵FH?BC，ABCyBC?B,AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，

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∴FH?平面ABCD.

∴EO?平面ABCD. ……………8分 以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，OH所在直线为y轴，HF所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系H?xyz，则A?1,?2,0?，B?1,0,0?，D??1,?2,0?，E?0,?1,1?. ∴AE???1,1,1?，BD???2,?2,0?，BE???1,?1,1?. ……………9分 设平面BDE的法向量为n??x,y,z?，由n?BD?0，n?BE?0， 得?2x?2y?0，?x?y?z?0，得z?0,x??y.

令x?1，则平面BDE的一个法向量为n??1,?1,0?. ……………10分 设直线AE与平面BDE所成角为?， 则sin??cosn,AE?n?AEnAE?6. ……………11分 3 ∴cos??1?sin??23sin?，tan???2. ……………13分 3cos? ∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2. ……………14分

19．（本小题满分14分）

（1）解法1：当n?2时，nan?1?Sn?n?n?1?，?n?1?an?Sn?1?n?n?1?，……1分 两式相减得nan?1??n?1?an?Sn?Sn?1?n?n?1??n?n?1?， ……………3分 即nan?1??n?1?an?an?2n，得an?1?an?2. ……………5分 当n?1时，1?a2?S1?1?2，即a2?a1?2. ……………6分 ∴数列?an?是以a1?0为首项，公差为2的等差数列.

∴an?2?n?1??2n?2. ……………7分 解法2：由nan?1?Sn?n?n?1?，得n?Sn?1?Sn??Sn?n?n?1?， ……………1分 整理得，nSn?1??n?1?Sn?n?n?1?， ……………2分 两边同除以n?n?1?得，

Sn?1Sn??1. ……………3分 n?1n8 / 14

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∴数列? ∴

S1?Sn??是以?0为首项，公差为1的等差数列.

1?n?Sn?0?n?1?n?1. n ∴Sn?n?n?1?. ……………4分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?n?n?1???n?1??n?2??2n?2. ……………5分 又a1?0适合上式， ……………6分 ∴数列?an?的通项公式为an?2n?2. ……………7分 （2）解法1：∵an?log2n?log2bn， ∴bn?n?2an?n?22n?2?n?4n?1. ……………9分

∴Tn?b1?b2?b3??bn?1?bn?40?2?41?3?42???n?1??4n?2?n?4n?1，①

4Tn?41?2?42?3?43?①?②得?3Tn?4?4?4?012??n?1??4n?1?n?4n，② ……………11分

?4n?11?3n??4n?1?1?4nn?n?4??n?4?.

31?4n ……………13分 ∴Tn?1n?. ……………14分 3n?1?4?1?????9解法2：∵an?log2n?log2bn， ∴bn?n?2an?n?22n?2?n?4n?1. ……………9分

∴Tn?b1?b2?b3?由x?x?x?23n?bn?1?bn?40?2?41?3?42???n?1??4n?2?n?4n?1.

x?xn?1?x??x?1?， ……………11分

1?x012两边对x取导数得，x?2x?3x??nxn?1?nxn?1??n?1?xn?1?1?x?2. ………12分

令x?4，得4?2?4?3?4?0121n??n?1??4n?2?n?4n?1??3n?1?4?1?. ????9 ……………13分 ∴ Tn?1??3n?1??4n?1???. ……………14分 920．（本小题满分14分）

（1）解法1：由题意, 点M到点F的距离等于它到直线l的距离,

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故点M的轨迹是以点F为焦点, l为准线的抛物线. ……………1分

∴曲线E的方程为x?4y. ……………2分

解法2：设点M的坐标为?x,y?,依题意, 得MF?y?1,

即x??y?1??y?1, ……………1分

222 化简得x?4y.

∴曲线E的方程为x?4y. ……………2分

22 (2) 解法1: 设点B,C的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，依题意得，x1?4y1,x2?4y2.

22?y?kx?1,2 由?2消去y得x?4kx?4?0，

?x?4y,4k?4k2?1?2k?2k2?1. 解得x1,2?2 ∴x1?x2?4k,x1x2??4. ……………3分

直线AB的斜率kABx12?1y1?14x?2???1， x1?2x1?24 故直线AB的方程为y?1? 令y??1，得x?2?x1?2?x?2?. ……………4分 48， x1?2 ∴点S的坐标为?2????8,?1?. ……………5分 x1?2????8,?1?. ……………6分 x2?2? 同理可得点T的坐标为?2? ∴ST?2?8?x1?x2??88???2?? ?x1?2?x2?2??x1?2??x2?2? ?8?x1?x2?8?x1?x2?x?x??12. ……………7分

x1x2?2?x1?x2??48kk2∴ST2x1?x2???k2x1?x2???2?4x1x2k2?16?k2?1?k2. ……………8分

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