2014广州二模理科数学试题和答案WORD

设线段ST的中点坐标为?x0,?1?，

则x0?4?x1?x2?4?1?88? 2??2??2???2?x1?2x2?2??x1?2??x2?2?4?4k?4?4?4k?4?2?2???. ……………9分

x1x2?2?x1?x2??48kk ?2?224k?1??2122?? ∴以线段ST为直径的圆的方程为?x????y?1??ST?. 2k?4k? ……………10分

24k?1?4?422 展开得x?x??y?1???2?4. ……………11分 2kkk 令x?0，得?y?1??4，解得y?1或y??3. ……………12分 ∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点?0,1?,?0,?3?. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E的方程为x?4y.

设直线AB的方程为y?1?k1?x?2?，点B的坐标为?x1,y1?，

222?x?2?,?y?1?k1?x?2?,??2?k1 ∴点S的坐标为?2?,?1?. …………3分 由?解得?k1?y??1,???y??1.??y?1?k1?x?2?,2由?2消去y，得x?4k1x?8k1?4?0， ?x?4y,即?x?2??x?4k1?2??0，解得x?2或x?4k1?2. ……………4分 ∴x1?4k1?2，y1?12x1?4k12?4k1?1. 4∴点B的坐标为4k1?2,4k12?4k1?1. ……………5分 同理，设直线AC的方程为y?1?k2?x?2?， 则点T的坐标为?2??????22,?1?，点C的坐标为?4k2?2,4k2?4k2?1?. …………6分 k2?∵点B,C在直线l1:y?kx?1上，

4k?∴k?22?4k2?1???4k12?4k1?1??4k2?2???4k1?2?k??22?k12???k2?k1?k2?k1?k1?k2?1.

11 / 14

2014广州二模理科数学试题和答案WORD

∴k1?k2?k?1. ……………7分 又4k12?4k1?1?k?4k1?2??1，得4k12?4k1?4kk1?2k?4?k1?k2?1?k1?2k， 化简得k1k2?k. ……………8分 2 设点P?x,y?是以线段ST为直径的圆上任意一点，则SP?TP?0， ……………9分 得?x?2???2??2?x?2??????y?1??y?1??0， ……………10分 k1??k2?2 整理得，x?42x?4??y?1??0. ……………11分 k2 令x?0，得?y?1??4，解得y?1或y??3. ……………12分 ∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点?0,1?,?0,?3?. ……………14分 21．（本小题满分14分）

（1）解：∵f?x??alnx?bx， ∴f??x?? ∵直线x?2y?2?0的斜率为

a?b. x1?1?，且过点?1,??， ……………1分

2?2?11??f1??,b??,????1??22 ∴?即?解得a?1,b??. ……………3分

2?f??1??1,?a?b?1,???2?2（2）解法1：由（1）得f?x??lnx?x. 2x2kxk?xlnx. 当x?1时，f?x???0恒成立，即lnx???0，等价于k?2x2x ……………4分

x2?xlnx，则g??x??x??lnx?1??x?1?lnx. ……………5分 令g?x??2令h?x??x?1?lnx，则h??x??1?1x?1?. xx当x?1时，h??x??0，函数h?x?在?1,???上单调递增，故h?x??h?1??0. ……………6分 从而，当x?1时，g??x??0，即函数g?x?在?1,???上单调递增， 故g?x??g?1??1. ……………7分 212 / 14

2014广州二模理科数学试题和答案WORD

x21?xlnx恒成立，则k?. ……………8分 因此，当x?1时，k?22∴所求k的取值范围是???,?. ……………9分

2??1??解法2：由（1）得f?x??lnx? 当x?1时，f?x??x. 2kxk?0恒成立，即lnx???0恒成立. ……………4分 x2x11kx2?2x?2kxk 令g?x??lnx??，则g??x????2??.

x2x2x22x 方程x?2x?2k?0（﹡）的判别式??4?8k.

（ⅰ）当??0，即k?212时，则x?1时，x?2x?2k?0，得g??x??0， 2 故函数g?x?在?1,???上单调递减.

1k?k?0,g?2??ln2?1??0， 22xk 则当x??1,2?时，g?x??0，即lnx???0，与题设矛盾. …………5分

2x 由于g?1????x?1??0. 1x?2x?1（ⅱ）当??0，即k?时，则x?1时，g??x?????22x22x222 故函数g?x?在?1,???上单调递减，则g?x??g?1??0，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当??0，即k?

1

时，方程（﹡）的两根为x1?1?1?2k?1,x2?1?1?2k?1， 2

则x??1,x2?时，g??x??0，x??x2,???时，g??x??0. 故函数g?x?在?1,x2?上单调递增，在?x2,???上单调递减， 从而，函数g?x?在?1,???上的最大值为g?x2??lnx2?x2k?. ………7分 2x2 而g?x2??lnx2?x2kx1??lnx2?2?， 2x222x2 由（ⅱ）知，当x?1时，lnx? 得lnx2?x1??0， 22xx21??0，从而g?x2??0. 22x213 / 14

2014广州二模理科数学试题和答案WORD

故当x?1时，g?x??gx2?0，符合题意. ……………8分 综上所述，k的取值范围是???,?. ……………9分

2????1??x2?1x1（3）证明：由（2）得，当x?1时，lnx??， …10分 ?0，可化为xlnx?222x 又xlnx?0， 从而，

1211. ……………11分 ?2??xlnxx?1x?1x?1,n分别代入上面不等式，并相加得，

1??11??1??????? n?2nn?1n?1???? 把x?2,3,4,11??2ln23ln3?1?1??11??11???1???????????nlnn?3??24??35? ……………12分 ?1?111 ……………13分 ??2nn?13n2?n?2 ?. ……………14分 22n?2n

14 / 14