26.解：∵A、B相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6 27.解： A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8

28.解：设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表

示为ABC?ABC?ABC，即有

P(ABC?ABC?ABC)=P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)=0.36

29.解：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9 P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.3 30.解：P(A+B)=1–P(A?B)?1?P(AB)?1?p

二、单项选择题：

1.解：利用奇偶函数的定义进行验证。

a?x?1a?x(1?ax)ax?1f(?x)?(?x)?x??x?x?xx?f(x) 所以B正确。 xa?1a(1?a)a?12.解：因为x?211121122，所以?x?2??2?(x?)?2f(x?)?(x?)?2 22xxxxx2则f(x)?x?2，故选项B正确。

3.解：由于f(x)?x?1，得f(f(x)?1)?(f(x)?1)?1＝f(x)?2

将f(x)?x?1代入，得f(f(x)?1)=(x?1)?2?x?3 正确答案：D

?x21?a?x2??a?b?x?b?ax?b)?lim?0 4.解：?lim(x??x?1x??x?1?1?a?0,a?b?0,?a?1,b??1 答案：C

5.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 limsinx?0

x??x而A、C、D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。 6.解：?limxsinx??11?limsinxx??xn11?1，故不选A；取m?2k?1，则limn??1??lim?0，故

n??k??2k?1x不选B；取xn?1n???2，则limn??11cos?0，故不选D。 答案：C xnxn7.解：lim?f(x)?lim?x?0，lim?f(x)?lim?xsinx?0x?0x?0x?01?0，f(0)?0，因此f(x)在x?0处连续。 x Word 文档

f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)?lim?x?0x?0xsin1?01x?lim?sin，此极限不存在，从而f??(0)不存在，

x?0x?0x故f?(0)不存在 答案：B

8.解：由导数的定义和它的几何意义可知：y?(1)?(x?x)?x?13?(3x2?1)x?1?2，是曲线y?x3?x在

点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是y?0?2(x?1)，即y?2x?2 答案：A 9.解：直接利用导数的公式计算：y??(14x)??x3, y???(x3)??3x2 答案：B 410.解：先求出f(x)，再求其导数。 答案：D 11.解：z的定义域为(x,y)x2?y2?0}个。 答案：D

12.解：A.当P沿x?0时，limf(0,y)?0，当P沿直线y?0时，limf(x,0)?1，故limy?0?x?0x?0y?0x不存在； x?y1x2??，不存在； C.如判断题中1 题可知lim B.lim 不存在；

x?0x?yx?0x?yy?0y?0D.因为lim xsinx?0y?011?0。 答案：D ?limx?0，所以limxsinx?0x?yx?yx?0y?0y?013.解：因f(x)为偶函数，则f?(x)为奇函数，f??(x)为偶函数，故应选C。

14.解：因为f(x)是奇函数，故f(?x)??f(x)，两边求导?f?(?x)??f?(x)，从而f?(x)?f?(?x)，

设x?0，则?x?0，从而f?(x)?f?(?x)?0，所以f(x)在[-10，-1]上单调增加，故最大值为

f(?1) 答案：B

15.解：fx?4?2x，fy??4?2y，???x?2?fx?0???? f?0y??2?y????20?H??? H?0 ?2?0，f(2,?2)?8为极大值 答案：A 0?2??16.解：根据周期函数定积分的性质有

17.解：所求旋转体的体积为

? l?T lf(x)dx??f(x)dx 故应选D。

0 T Word 文档

V???ydx???sinxdx????00?2?3?0cos3x?4(1?cosx)dcosx???[cosx?]0??

332答案：B

18.解：利用定积分的奇偶性质知M?0，N?2?2 0 ?4cosxdx?0，P??2?2cos4xdx?0，所以

0 ?P?M?N 答案：D

19.解：答案：B

14?0???2?32?2232320.解：D：? I??0d??0(1?r)rdr????(1?r)0?r?24?2?0

02??0rf(r)dr212?f(t)t21.解：由极坐标，原极限?lim3?0d??0rf(r)dr?lim?lim???

t?0?tt?03t?0t?t3???t22.解：答案：B

?aa2a22a?23.解：因为(?1)(1?cos)?2sin，而?收敛，因此原级数绝对收敛。故答案：A 2n2n2n22nn?1nn?(?a)nn(x?a)24.解：由于?(?1)收敛，由此知a?1。当?1?a?1时，由于?(?1)的收敛半径为

nnn?1n?1?n1，因此该幂级数在区间(a?1,a?1)内收敛，特别地，在(0,a?1)内收敛，此与幂级数在x?0时

发散矛盾，因此a??1。 答案：B

25.解：答案：C 26.解：答案：B 27.解：答案：C 28.解：答案：D 29.解：答案：C 30.解：答案：B 31.解：答案：A

32.解：基本事件总数为C8，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为C5=5，

故P(A)=

415。 答案：D C8433.解：由题可知A1、A2互斥，又0

所以 P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 答案：C

三、解答题：

f(x)?lim1.解：（1）要f(x)在x?0处有极限存在，即要lim?f(x)?lim?f(x)成立，lim??x?0x?0x?0x?0sinx?1。 x因为lim?f(x)?lim?(xsinx?0x?01?b)?b，所以当b?1时，有lim?f(x)?lim?f(x)成立，即

x?0x?0xb?1时，函数在x?0处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无

关，所以此时a可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)

x?x0x?x0 Word 文档

于是有b?1?f(0)?a，即a?b?1时函数在x?0处连续。

x3?ax2?b?8 ?limx3?ax2?b?8?4a?b?0，即b??8?4a 2.解：?limx?2x?2x?2??x3?ax2?bx3?ax2?4a?8?lim?lim?limx2??a?2?x?2a?4?4a?12?8 x?2x?2x?2x?2x?2???a??1 故b??4

3.解：f(x)在??1,0?，?0,1?，?1,???内连续，lim?ex?11x?1??，lim?ex?11x?1?0，f?0??0，因此x?1是f(x)的第二类无穷间断点；limf?x??lime??x?0x?01x?1?e?1，lim?f?x??lim?ln?1?x??0，因此x?0是

x?0x?0f(x)的第一类跳跃间断点。

4.解：（1）方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，即 (xy)??(e)??(e)??1?

xyex?yy?xy??e?ey??0 (x?e)y??e?y 整理得 y??

x?eyxyyx（2）y??cos(x?y)?(1?y?)?cos(x?y)

1?cos(x?y)y????sin(x?y)?(1?y?)2?cos(x?y)?y??

y????sin(x?y)?y? 33[1?cos(x?y)][1?cos(x?y)]z?y5.解:设 F(x,y,z)?e?z?x Fx??1 Fy??ez?y Fz?ez?y?1

?zez?y1?z1?z?y? ?z?yy?z?ye?11?e?xe?1?2z?1?ey?z?ze2(y?z) ??()???y?zy?z2y?z3?y?x?x1?e(1?e)?x(1?e)

6.解：

设 F(x)?f(x)?x, 在 [0 ,1] 上用零点定理，得 F(x) 至少有一个零点。反设 F(x) 在 [0 ，1] 上存在两个零点c1，c2，即F(c1)?F(c2)?0，Q[c1,c2]? [0 ,1] ，由Rolle定理可得至少有??(c1,c2) ，使 F?(?)?0 即 f?(?)?1?0?f?(?)?1，与题设矛盾，故在 (0 ,1) 内有且只有一个x， 使 f(x)?x。

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7.解：函数y?x(1?x)的定义域是(??，?1)U(?1，??)

2?1?y??2x(1?x)?x(?1)(1?x)?12?22x(1?x)?x2x(2?x)??

(1?x)2(1?x)2令 y?? x(2?x)?0，得驻点x1??2 x2?0 2(1?x)(??,?2) -2 0 极大值 (?2,?1)?(?1,0) - 0 0 极小值 (0,??) + f?(x) f(x) + 故函数的单调增加区间是(??，?2)和(0，??)，单调减少区间是(?2，?1)及(?1，0)，当x?-2时，极大值f(?2)??4；当x?0时，极小值f(0)?0。

8.解:设平面方程为Ax?By?Cz?1，其中A、B、C均为正，则它与三坐标平面围成四面体的体积为

V?11，且A?3B?6C?1，令F(A，B，C，?)?ABC??(A?3B?6C?1)，则由

6ABC??F1???A?BC???0A???3?F???AC?3??01??， 求得，由于问题存在最小值，因此所求平面方程为 B??A??9??F??AB?6??01??C??A??18??A?3B?6C?1?xyz1???1，且Vmin??3?9?18?81。 39186b229.解（1）：

???1x131dx?limb???1?b1dx?limx31b???13??1x313?lim(b3?1) 极限不存在，则积分发散。 b???212（2）：f(x,y)?a2?x2?y2是D上的半球面，由I???a2?x2?y2d?的几何意义知 I=V半球=?a3。

3D（3）：关于x轴对称，且f(x,y)?y是关于y的奇函数，由I几何意义知，? ??yd??0。

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