第五节 椭 圆
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．
(对应学生用书第138页)
[基础知识填充]
1．椭圆的定义
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 范围 对称性 顶点 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 性质 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－－b)，B2(0，b) b,0)，B2(b,0) ce＝，且e∈(0,1) ac2＝a2－b2 离心率 a，b，c的关系 x2y200
[知识拓展] 1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系：(1)P(x0，y0)在椭圆内?2＋2＜
abx2y2x2y20000
1.(2)P(x0，y0)在椭圆上?2＋2＝1.(3)P(x0，y2)在椭圆外?2＋2＞1.
ababx2b2
2．对于2＋2＝1(a＞b＞0)如图8-5-1.
ab
图8-5-1
则：(1)S＝btan .
2△PF1F2
(2)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0. (3)a－c≤|PF1|≤a＋c. (4)过P(x0，y0)点的切线方程为2
θx0xy0y ＋2＝1. a2b[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
(5)方程mx＋ny＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
2
2
x2y2y2x2
(6)2＋2＝1(a＞b＞0)与2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．( ) abab[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√
2．(2017·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
94
A．13 3
B．5 3
x2y2
2C． 3
B [∵椭圆方程为＋＝1，
94∴a＝3，c＝a－b＝9－4＝5. ∴e＝＝225D． 9
x2y2
ca5. 3
故选B．]
1
3．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是
2
( )
A．＋＝1
34C．＋＝1
42
D [椭圆的焦点在x轴上，c＝1.
x2y2x2y2
B．＋＝1
43D．＋＝1 43
x2y2
x2y2
c1222
又离心率为＝，故a＝2，b＝a－c＝4－1＝3，
a2
故椭圆的方程为＋＝1.]
43
4．椭圆C：＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB2516的周长为( ) A．12 C．20
C [△F1AB的周长为 |F1A|＋|F1B|＋|AB|
＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B| ＝2a＋2a＝4a.
在椭圆＋＝1中，a＝25，a＝5，
2516所以△F1AB的周长为4a＝20，故选C．]
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
5－kk－3
5－k＞0，??
(3,4)∪(4,5) [由已知得?k－3＞0，
??5－k≠k－3，
B．16 D．24
x2y2
x2y2
x2y2
2
x2y2
解得3＜k＜5且k≠4.]
(对应学生用书第139页)
椭圆的定义及其应用 (1)已知两圆C1：(x－4)＋y＝169，C2：(x＋4)＋y＝9，动圆在圆C1内部且和圆
2
2
2
2
C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1
6448
x2y2
B．＋＝1 4864
x2y2
C．－＝1 4864
x2y2
D．＋＝1 6448
x2y2
(2)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2
97的面积为( ) A．7 7C． 2
7B． 475D． 2
x2y2
(1)D (2)C [(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，则a＝8，c＝4，∴b＝48，故所求的轨迹方程为＋＝1.
6448(2)由题意得a＝3，b＝7，c＝2， ∴|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|＝|AF1|＋|F1F2|－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|－4|AF1|＋8， ∴(6－|AF1|)＝|AF1|－4|AF1|＋8.
71727
∴|AF1|＝，∴S△AF1F2＝××22×＝.]
22222
[规律方法] 1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|. 2
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2[跟踪训练] (1)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过点F1的直线
ab交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16，则|AF2|＝________.
【导学号：79140284】
x2y2
(2)已知F1、F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且
abPF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
(1)5 (2)3 [(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3， ∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4. 则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8， ∴|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
??r1＋r2＝2a，则?222
?r1＋r2＝4c，?