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题目9

两种群相互竞争模型如下：

其中x(t)，y(t)分别为甲乙两种群的数量；r1,r2为它们的固有增长率；n1,n2为它们的最大

容量。s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍，对s2可作相应的解释。

该模型无解析解，试用数值解法研究以下问题：

（1）设r1=r2=1，n1=n2=100，s1=0.5，s2=2，初值x0=y0=10，计算x(t)，y(t)，画出它们的图形及相图(x,y),说明时间t充分大以后x(t)，y(t)的变化趋势（人们今天看到的已经是自然界长期演变的结局）。

（2）改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,但s1,s2不变（或保持s1<1,s2>1），计算并分析所得结果；若s1=1.5（>1）,s2=0.7(<1),再分析结果。由此你得到什么结论，请用各参数生态学上的含义作出解释。

（3）试验当s1=0.8（<1）,s2=0.7(<1)时会有什么结果；当s1=1.5（>1）,s2=1.7(>1)时又会有什么结果。能解释这些结果吗？

9.1 模型分析

此题的模型很类似教材中的“弱肉强食”模型，只是多考虑了竞争资源的问题。微分方程描述了竞争关系和捕食关系。通过对微分方程组进行数值求解，即得出竞争关系的直观表示。

9.2 程序代码

设x(1)=x,x(2)=y 编写M文件如下:

function dx=jing(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2)

dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]; end

ts=0:0.1:15; x0=[10,10];

option=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);

[t,x]=ode45(@jing,ts,x0,option,1,1,100,100,0.5,2); [t,x]

plot(t,x),grid,

title('图1.时间-种群数量') xlabel('t') ylabel('x,y') gtext('x(t)') gtext('y(t)') pause

plot(x(:,1),x(:,2)),grid title('图2.相图')

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xlabel('x') ylabel('y')

【小结】

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如图，可以清晰地看出，t充分大之后，y起初小有增长，随后衰减，直至灭亡，而x则一直增长。二者数量在大约10年时已经趋于稳定，此时x的数量约稳定在100，而y已经彻底灭亡。

9.3 改变参数

1.改变r1与r2,即改变固有增长率 (1).r1=0.4,r2=0.4

jing函数中设计了各参数的接口，只要改变输入即可，程序代码省略。

数据分析：

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由图中数据可以看出，改变二者增长率，最终结果并没有变化。仍然是甲达到100，而乙彻底灭绝。与之前变化不同的是，达到稳定需要更长的时间，约25年。可以看出，增长率减少，种群数量变化的速度会减慢。

(2).r1=5,r2=0.4

数据分析：

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