QD长度的最大值．

方法总结 对于此类二次函数题型考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．其次就是应用到二次函数常见的水平宽铅垂高．

举一反三 如图，在平面直角坐标系x中，A、B为x轴上两点，、D为轴上的两点，经过点A、、B的抛物线的一部分1与经过点A、D、B的抛物线的一部分2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点的坐标为（0，﹣ ），点是抛物线2：=x2﹣2x﹣3（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PB的面积最大？若存在，求出△PB面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BD为直角三角形时，求的值．

考点七、二次函数的综合应用

【例7】如图抛物线=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与轴交于点，顶点为D，连接A、D、AD． （1）求该二次函数的解析式； （2）求△AD的面积；

（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

方法总结 此类题型主要考查二次函数与其他知识点的综合应用，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边相等是求出题中P点的关键．所以对于考查二次函数与三角形、四边形、圆、相似等相关知识的结合性题目时一定要把握好它们的性质及其常考定理与推理的综合应用．

举一反三 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，△AB的面积为S．

求S关于的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 一、选择题

1．已知抛物线 与x轴交于点A，B，与轴交于点，则能使△AB为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）

A．2 B．3 ．4 D． 2．已知下列命题：

①对于不为零的实数，关于x的方程 的根是；

②在反比例函数 中，如果函数值＜1时，那么自变量x＞2； ③二次函数 的顶点在x轴下方；

④函数= x2+(3+2)x+1，对于任意负实数，当x<时，随x的增大而增大，则的最大整数值为 其中真命题为（ ） A．①③ B．③ ．②④ D．③④

3．(2013杭州，10)给出下列命题及函数 ， 和 的图象 ①如果 ，那么 ； ②如果 ，那么 ； ③如果 ，那么 ； ④如果 时，那么 。 则 （ ）

A 正确的命题是①④ B 错误的命题是②③④ 正确的命题是①② D 错误的命题只有③

4．设二次函数1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数=1+2的图象与x轴仅有一个交点，则（ B ）

A a（x1﹣x2）=d Ba（x2﹣x1）=d a（x1﹣x2）2=d Da（x1+x2）2=d ．二次函数=ax2+bx+（a，b，为常数，且a＜0）的图象经过点（﹣1，

1），（4，﹣4）下列结论：（1） ＜0；（2）当x＞1时，的值随x值的增大而减小；（3） 是方程ax2+（b+1）x+=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜4时，ax2+（b+1）x+＞0．其中正确的个数为( ) A．1个 B．2个 ．3个 D．4个

6．已知二次函数=a（x﹣h）2+的图象经过（0，），（10，8）两点，若a＜0，0＜h＜10，则h的值可能是（ ） A．7 B． ．3 D．1

7．（2016江干区一模，10）已知抛物线=ax2+bx+的顶点为D（﹣1，3），与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：

①b2-4a＞0；②﹣a=3；③a+b+＜0；④方程ax2+bx+=（≥2）一定有实数根，其中正确的结论为（ ）A．②③ B．①③ ．①②③ D．①②④ 二、填空题

1．函数=x2+2x+1，当=0时，x= ；当1＜x＜2时，随 x的增大而 （填写“增大”或“减小”）． 2．函数 的最大值与最小值分别为 3．已知函数 ，下列说法：

①方程 必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当>3时，抛物线顶点在第三象限；④若<0，则当x<-1时，随着x的增大而增大 其中正确的序号是 4在平面直角坐标系中，点是直线=3与x轴之间的一个动点，且点是

抛物线= x2+bx+的顶点，则方程 x2+bx+=2的解的个数是 ．．若、n（＜n）是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）+2=0的两根，且a＜b，则a，b，，n的大小关系用“＜”连接的结果是

6设二次函数=ax2+bx+（a≠0 ）的图象经过点（3，0），（7，﹣8），当3≤x≤7时，随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ． 7．已知抛物线 与x轴交于点A，B，与轴交于点．若△AB为等腰三角形，则的值为 ．

8．如图，将二次函数=x2﹣（其中＞0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为1，另有一次函数=x+b的图象记为2，则以下说法：

（1）当=1，且1与2恰好有三个交点时，b有唯一值为1； （2）当b=2，且1与2恰有两个交点时，＞4或0＜＜ ； （3）当=b时，1与2至少有2个交点，且其中一个为（0，）； （4）当=﹣b时，1与2一定有交点．

其中正确说法的序号为 ．9．如图，抛物线=a（x﹣1）2+ （a≠0）经过轴正半轴上的点A，点B，分别是此抛物线和 x轴上的动点，点D在B上，且AD平分△AB的面积，过D作DF∥B交x轴于F点，则DF的最小值为 ．三、解答题

1．当分别取0，1时，函数=（1﹣）x2﹣4x+﹣都有最小值吗？写出你的判断，并说明理由．