圆的基本性质

一、选择题 1．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）

A．2

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】连接OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以PA=3. 2.（2019·杭州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB= （ ） A．2 B.3 C.4 D.5

A

OBP

【答案】B

【解析】因为PA和PB与⊙O相切，根据切线长定理，可知： PA=PB=3，故选B． 3．（2019·烟台）如图，AB是

O的直径，直线DE与O相切于点C，过点A，B分别作AD?DE，

． BE?DE，垂足为点D，E，连接AC，BC．若AD?3，CE?3，则AC的长为（ ）A．

233323 B．? C．? D．? 3323BOADCE 【答案】D

【解题过程】连接OC，

因为AD?DE，BE?DE，

所以?ADC??CEB?90? 所以?DAC??ACD?90? 因为AB是

第12题答图 O的直径，

所以?ACB?90?，

所以?BCE??ACD?90?， 所以?BCE??DAC， 在△ADC与△CED,

因为?ADC??CEB?90?，?BCE??DAC 所以△ADC∽△CED, 所以

BCCE3???3 ACAD3BC?3， AC在Rt△ACB中，sin?BAC?所以?BAC?60?， 又因为OA?OC，

所以△AOC是等边三角形， 所以?ACO?60?， 因为直线DE与

O相切于点C，

所以OC?DE，

因为AD?DE，OC?DE， 所以AD//OC，

所以?DAC??ACO?60?，

所以?ACD?90???DAC?30?， 所以AC?2AD?23， 所以△AOC是等边三角形，

所以OA?AC?23，?AOC?60?，

所以AC的长为60???2323??．

1803yC4．（2019·威海）

如图，⊙P与x轴交与点A（—5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C，若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为

A.

13?3 B. 22?3C. 42D. 22?2

APOBx【答案】D

【解题过程】连接PA、PB、PC,过点P分别作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE为矩形， ∴PE＝OF,PF＝OE. ∵∠ACB＝60°， ∴∠APB＝120°. ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°. ∵PF⊥AB， ∴AF＝BF＝3.

yCPOEBxAF∴PE＝OF＝2. ∵tan30°＝PFAF,cos30°＝， AFAP∴PF＝3,AP＝23. ∴OE＝3,PC＝23. 在RT△PEC中，CE＝ ∴OC＝CE＋EO＝22＋2.

5．（2019·青岛） 如圈， 结段AB 经过⊙O的圆心，AC BD分别与⊙O 相切于点D.若AC= BD = 4,

PC2?PE2＝22，

∠A=45°， 则圆弧CD的长度为A.π

B. 2π

C. 22π

D.4π

【答案】B

【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与⊙O相切于C,D，所以∠ACO=∠DBO=90°, 所以∠AOC=∠A=45°, 所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，CD=

90??4180=2π，故选B. 6．（2019·益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（）

A. PA=PBB.∠BPD＝∠APDC.AB⊥PDD.AB平分PD

第9题图

【答案】D

【解析】∵PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，∴PA=PB，∠BPD＝∠APD，故A、B正确；

∵PA=PB，∠BPD＝∠APD，∴PD⊥AB，PD平分AB，但AB不一定平分PD，故C正确，D错误. 7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，

点C是AB的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m.则这段弯路所在圆的半径为（）

A.25m

ACDOBA B.24m C.30m D.60m

(第7题图)

DC【答案】A

【解析】连接OD，由垂径定理可知O，C，D在同一条直线上，OC⊥AB，设半径为r，则OC＝OA＝r，AD＝20，OD＝OA－CD＝r－10，在Rt△ADO，由勾股定理OB222

知：r＝20＋(r－10)，解得r＝25.

8．（2019·陇南）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）

A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C

【解析】作AB的垂直平分线，交圆与点C，D，设圆心为O，CD与AB交于点

2OA2OE22OA，∴sin?AOE?E，∵AB=2OA，∴AE=,??2OAOA2∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ASB=45°，故选：C．

9.（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）

A．60° B．50° C．40° D．20° 【答案】B

【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．

10. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如

果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为 A.35° B.38°

C.40°

D.42°

【答案】C 【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.

11.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，则BC的长为（）

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A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C

【解析】连接BD．

∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．

∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°． ∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD． ∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5． 在Rt△AEF中，sin∠CAB=

EF3? AF5∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．

DE282??16． 由DE=AE ?EB，得BE?AE42

∴AB=16+4=20．

在Rt△ABC中，sin∠CAB=∴BC=12．

BC3? AB5