第16题图 【答案】y?30 xy,因为OP＝OC,所以∠2【解析】过点O作OD⊥PC于点D连接OP,OC,因为PC＝y,由垂径定理可得DC＝COD＝

11PABP∠POC,由圆周角定理,∠B＝∠POC,所以∠COD＝∠B,所以△COD∽△PBA,,即?22CDOC3x30?,整理可得函数表达式为:y?. y5x2 25．（2019·嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．

【答案】

1 2【解析】连接OD，因为CD⊥OC，则有CD=OD2?OC2，根据题意可知圆半径一定，故当OC最小时则有CD最大，故当OC⊥AB时CD=BC=

1最大. 226．（2019·盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AB为50°，则∠E＋∠C＝________

EDOCBA

【答案】155° 【解析】如图，连结OA、OB、AE，由弧AB为50°可知，∠AOB=50°，又∠AOB

1和∠AEB分别为弧AB所对的圆心角和圆周角，故?AEB??AOB,即

2∠AEB=25°，又四边形AEDC是?O的内接四边形，所以∠ACD+∠AED=180°，又∠AEB=25°，可得∠ACD+∠BED=180°-25°=155°.

EDOCBA

三、解答题 27．（2019浙江省温州市，22，10分）（本题满分10分）

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；

（2）当BE=4，CD=AB时，求⊙O的直径长．

AFGBE第22题图DOCBGE第22题图DFOCA38

【解题过程】（1）连接AE. ∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直径.

∵ AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD为⊙O的直径，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG.

∵ AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG为平行

四边形；

（2）由CD=AB，可设CD=3x,AB=8x，∴CD=FG=3x. ∵ ∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x. ∵ GE∥CF，∴△BGE∽△CDE，∴

38BEBG2??. EGGF3又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB=102-62=8=8x，∴x=1. 在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF=32+62=35，即⊙O的直径长为35.

28．（2019年浙江省绍兴市，第21题，10分 ）在屏幕上有如下内容：

如图，△ABC内接于圆O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D. 张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答0 （1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长，请你解答. （2）以下是小明，小聪的对话：

参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答.

【解题过程】

29．（2019江苏盐城卷，24，10）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点 M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E.

（2）求证：NE与⊙O相切.

30．（2019·山西）阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ）是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI=R-2Rr.

22

如图1,?O和?I分别是△ABC的外接圆和内切圆,?I与AB相切于点F,设?O的半径为R,?I的半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d,则有

d2=R2-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）:

延长AI交?O于点D,过点I作?O的直径MN,连接DM,AN. ∵∠D＝∠N,∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）, ∴△MDI∽△ANI.∴

IMID.∴IA?IDIM?IN. ① =IAIN如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作?O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF.

∵DE是?O的直径,∴∠DBE＝90°.∵?I与AB相切于点F,∴∠AFI＝90°,∴∠DBE＝∠IFA. ∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等）,∴△AIF∽△EDB. ∴

IAIF.∴IA?BDDE?IF. ② =DEBD…… 任务:

（1）观察发现:IM＝R+r,IN＝_____（用含R,d的代数式表示）; （2）请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;

（3）请观察式子①和式子②,并利用任务（1）,（2）的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余

部分;

（4）应用:若△ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为___cm

第21题图 【思路分析】（1）MN是直径,根据内切圆与外接圆半径与它的关系得到IN的代数式（2）由内切圆是三角形三条角平分线的交点,转化相等的角,再利用同弧所对的圆周角相等转化角,最后得到∠BID＝∠DBI,利用等角对等边得证（3）由材料得到的结论及任务（1）（2）等量代换得线段等积式,从而得证结论（4）根据结论直接应用求解. 【解题过程】（1）IN＝R－d;

（2）BD＝ID.理由如下:∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD＝∠CAD,∠CBI＝∠ABI,∵∠DBC＝∠CAD,∠BID＝∠BAD+∠ABI,∠DBI＝∠DBC+∠CBI,∴∠BID＝∠DBI,∴BD＝ID; （3）由（2）知:BD＝ID,∴IA?IDDE?IF,又∵IA,∴?IDI?MINDE?IFIM?IN,∴

2R?r(R+d)?(Rd),∴R2222-d2=2Rr,∴d2=R2-2Rr;

2252=5,∵d>0,∴d=5. （4）由d=R-2Rr得d=R-2Rr=5-2创

31.（2019·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A,B的圆的圆心在边AC上， （1）线段AB的长等于；

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简

要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）

【答案】（1）（2）如图，取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线

相交于点D，连接DO并延长，交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连