接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB
【解析】(1)如图，Rt△ABD中，AD=2，BD=
1,由勾股定理可得AB=2
（2）由于点A在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在AC上，所以取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，则点D为AB的中点，连接DO并延长，根据垂径定理可得则DO垂直平分AB，连接BO，则∠OAB=∠OBA=30°，因为∠ABC=50°，所以∠OBC=20°，DO的延长线交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB.
32.（2019·湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数为15°，则它所对的圆心角的度数是______． 【答案】30°．
【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍，可知答案为30°．
4. (2019·台州)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC＝64°,则∠BAE的度数为________.
【答案】52°
【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D＝180°,∵∠B＝64°,∴∠D＝116°,又∵点D关于AC的对
称点是点E,∴∠D＝∠AEC＝116°,又∵∠AEC＝∠B+∠BAE,∴∠BAE＝52°. 5 33．（2019·苏州，26，12）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE?DA＝DC；（3）若tan∠CAD?∠CDA的值．
2
1，求sin2
第26题图
【解题过程】解：（1）∵点D是BC中点，OD是圆的半径，∴OD⊥BC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC∥OD；
（2）∵CD?BD，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DCA，∴CD＝DE?DA； （3）∵tan∠CAD?3a，
2
11，∴△DCE和△DAC的相似比为，设：DE＝a，则CD＝2a，AD＝4a，AE＝22AE1?3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD?，∴ACDE23＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA?．
5∴
34．（2019安徽，19题号，10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB）.求点C到弦AB所在直线的距离.
（参考数据：sin41.3°≈0.66， cos41.3°≈0.75 ， tan41.3°≈0.88）
【解题过程】解：连接CO并延长，交AB于点D，所以CD⊥AB，所以D为AB中点，所 求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长. ………………2分
1AB=3，∠OAD=41.3°， 2AD3∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA=≈=4，…………8分 00.75cos41.3∴CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64.………………10分
在Rt△AOD中，∵AD=
答：运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.
35.(2019·宁波)如图1,O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F. (1)求证:BD＝BE;
(2)当AF:EF＝3:2,AC＝6时,求AE的长; (3)设
AF＝x,tan∠DAE＝y. EF①求y关于x的函数表达式;
②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.
解：(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.
1(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,∵△ABC为等边三角形,AC＝6,∴BG＝BC
21＝AC＝3,在Rt△ABG中,AG＝3BG＝33,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴2AFBG2,∵AF:EF＝3:2,∴BE＝BG＝2,∴EG＝BE+BG＝3+2＝5,∴在Rt△=EFEB3AEG中,AE＝AG2?EG2?213;
答图(1)
(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,＝sin60＝EHEB1BGAF33,EH＝BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝=222EBEF112xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD＝
223BEEH332=?,∴y＝;
1?AH?4x?14x?1?2x??BE2??BGAF＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝=EBEF111a+2ax,∴EM＝EC＝a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－a,∵BF∥AG,∴△EBF
222BFBEa11∽△EGA,∴,∵AG＝3BG＝3ax,∴BF＝AG===AGEGa?ax1?x1?x②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE＝a,∵＝
BF?BM13ax1?3ax???ax?a?,△AEC的面积＝,△OFB的面积＝?22x?1?2?1?xEC?AG1??3ax?a?2ax?,∵△OFB的面积是△AEC的面积的10倍,∴2213ax?1?110??ax?a?＝?3ax?a?2ax?,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2?2x?1?2?2333,y＝或.
97236.（2019·自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，
＝
；求证：（1） （2）AE=CE.
解：（1）连接AO，BO，CO，DO,
. ∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOD=∠BOC，∴
，∴AD=BC，∵ ，∴∠ADC=∠ABC，又∵∠AED=∠CEB，∴△ADE≌△CBE， （2）∵
∴AE=CE.
37.（2019·攀枝花）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝3x的图象上运动（不3与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ。 （1）求线段AP长度的取值范围；
（2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。 （3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标.
解：（1）作AH⊥OP，则AP≥AH． ∵点P在y＝3x的图象上，∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°． 3∵A（0，2），∴AH＝AO·sin60°＝3．∴AP≥3．
（2）∠QAP是定值． 法一：（共圆法）
①当点P在第一象限的线段OH的延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠APQ＋∠AOQ＝180°， ∴P、Q、O、A四点共圆 ∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．
②当点P在第一象限的线段OH上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得P、O、Q、A四点共圆 ∴∠PAQ＋∠POQ＝180°，又∵∠POQ＝150°， ∴∠PAQ＝180°－∠POQ＝30°．
③当点P在第三象限时，特殊角的三角函数值； 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆 ∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．
法二：（相似法）
①当点P在第三象限时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得△BPQ∽△BOA． ∴
PBOB?QBAB∴△QBA∽△PBO． ∴∠PAQ＝∠POQ＝30°，
②当点P在第一象限且点B在AP延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°， ∴△BPQ∽△BOA．∴
BPBO?BQBA ∴△BPO∽△BQA．∴∠PAQ＝∠POB＝30°．
③当点P在第一象限且点B在PA延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°， ∴△BPQ∽△BOA．∴
BPBO?BQBA ∴△BPO∽△BQA．∠PAQ＝∠POQ＝30°．