2019中考数学真题分类汇编 圆的基本性质 含解析 下载本文

接AP,则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB

【解析】(1)如图,Rt△ABD中,AD=2,BD=

1,由勾股定理可得AB=2

(2)由于点A在格点上,可得直角,根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径,又因为圆心在AC上,所以取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交,得圆心O;AB与网格线相交于点D,则点D为AB的中点,连接DO并延长,根据垂径定理可得则DO垂直平分AB,连接BO,则∠OAB=∠OBA=30°,因为∠ABC=50°,所以∠OBC=20°,DO的延长线交O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交于点P,连接AP,则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB.

32.(2019·湖州)已知一条弧所对的圆周角的度数为15°,则它所对的圆心角的度数是______. 【答案】30°.

【解析】根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍,可知答案为30°.

4. (2019·台州)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为________.

【答案】52°

【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D=180°,∵∠B=64°,∴∠D=116°,又∵点D关于AC的对

称点是点E,∴∠D=∠AEC=116°,又∵∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠BAE=52°. 5 33.(2019·苏州,26,12)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D是弧BC的中点,BC与AD、OD分别交于点E、F.(1)求证:DO∥AC;(2)求证:DE?DA=DC;(3)若tan∠CAD?∠CDA的值.

2

1,求sin2

第26题图

【解题过程】解:(1)∵点D是BC中点,OD是圆的半径,∴OD⊥BC,∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°,∴AC∥OD;

(2)∵CD?BD,∴∠CAD=∠DCB,∴△DCE∽△DCA,∴CD=DE?DA; (3)∵tan∠CAD?3a,

2

11,∴△DCE和△DAC的相似比为,设:DE=a,则CD=2a,AD=4a,AE=22AE1?3,即△AEC和△DEF的相似比为3,设EF=k,则CE=3k,BC=8k,tan∠CAD?,∴ACDE23=6k,AB=10k,∴sin∠CDA?.

5∴

34.(2019安徽,19题号,10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.

(参考数据:sin41.3°≈0.66, cos41.3°≈0.75 , tan41.3°≈0.88)

【解题过程】解:连接CO并延长,交AB于点D,所以CD⊥AB,所以D为AB中点,所 求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长. ………………2分

1AB=3,∠OAD=41.3°, 2AD3∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64,OA=≈=4,…………8分 00.75cos41.3∴CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64.………………10分

在Rt△AOD中,∵AD=

答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.

35.(2019·宁波)如图1,O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F. (1)求证:BD=BE;

(2)当AF:EF=3:2,AC=6时,求AE的长; (3)设

AF=x,tan∠DAE=y. EF①求y关于x的函数表达式;

②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.

解:(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,∠DEB=∠D,BD=BE.

1(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,∵△ABC为等边三角形,AC=6,∴BG=BC

21=AC=3,在Rt△ABG中,AG=3BG=33,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴2AFBG2,∵AF:EF=3:2,∴BE=BG=2,∴EG=BE+BG=3+2=5,∴在Rt△=EFEB3AEG中,AE=AG2?EG2?213;

答图(1)

(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD=∠ABC=60,在Rt△BEH中,=sin60=EHEB1BGAF33,EH=BE,BH=BE,=x,BG=xBE,AB=BC=2BG==222EBEF112xBE,AH=AB+BH=2xBE+BE=(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD=

223BEEH332=?,∴y=;

1?AH?4x?14x?1?2x??BE2??BGAF=x,∴CG=BG=xBE=ax,∴EC=CG+BG+BE==EBEF111a+2ax,∴EM=EC=a+ax,∴BM=EM-BE=ax-a,∵BF∥AG,∴△EBF

222BFBEa11∽△EGA,∴,∵AG=3BG=3ax,∴BF=AG===AGEGa?ax1?x1?x②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE=a,∵=

BF?BM13ax1?3ax???ax?a?,△AEC的面积=,△OFB的面积=?22x?1?2?1?xEC?AG1??3ax?a?2ax?,∵△OFB的面积是△AEC的面积的10倍,∴2213ax?1?110??ax?a?=?3ax?a?2ax?,∴2x2-7x+6=0,解之,得x1=2,x2?2x?1?2?2333,y=或.

97236.(2019·自贡)如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC,

;求证:(1) (2)AE=CE.

解:(1)连接AO,BO,CO,DO,

. ∵AB=CD,∴∠AOB=∠COD,∴∠AOD=∠BOC,∴

,∴AD=BC,∵ ,∴∠ADC=∠ABC,又∵∠AED=∠CEB,∴△ADE≌△CBE, (2)∵

∴AE=CE.

37.(2019·攀枝花)在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,2),动点P在y=3x的图象上运动(不3与O重合),连接AP,过点P作PQ⊥AP,交x轴于点Q,连接AQ。 (1)求线段AP长度的取值范围;

(2)试问:点P运动过程中,∠QAP是否为定值?如果是,求出该值;如果不是,请说明理由。 (3)当△OPQ为等腰三角形时,求点Q的坐标.

解:(1)作AH⊥OP,则AP≥AH. ∵点P在y=3x的图象上,∴∠HOQ=30°,∠HOA=60°. 3∵A(0,2),∴AH=AO·sin60°=3.∴AP≥3.

(2)∠QAP是定值. 法一:(共圆法)

①当点P在第一象限的线段OH的延长线上时, 由∠QPA=∠QOA=90°,可得∠APQ+∠AOQ=180°, ∴P、Q、O、A四点共圆 ∴∠PAQ=∠POQ=30°.

②当点P在第一象限的线段OH上时, 由∠QPA=∠QOA=90°,可得P、O、Q、A四点共圆 ∴∠PAQ+∠POQ=180°,又∵∠POQ=150°, ∴∠PAQ=180°-∠POQ=30°.

③当点P在第三象限时,特殊角的三角函数值; 由∠QPA=∠QOA=90°,可得Q、P、O、A四点共圆 ∴∠PAQ=∠POQ=30°.

法二:(相似法)

①当点P在第三象限时, 由∠QPA=∠QOA=90°,可得△BPQ∽△BOA. ∴

PBOB?QBAB∴△QBA∽△PBO. ∴∠PAQ=∠POQ=30°,

②当点P在第一象限且点B在AP延长线上时, 由∠QPA=∠QOA=90°,可得∠BPQ=∠BOA=90°, ∴△BPQ∽△BOA.∴

BPBO?BQBA ∴△BPO∽△BQA.∴∠PAQ=∠POB=30°.

③当点P在第一象限且点B在PA延长线上时, 由∠QPA=∠QOA=90°,可得∠BPQ=∠BOA=90°, ∴△BPQ∽△BOA.∴

BPBO?BQBA ∴△BPO∽△BQA.∠PAQ=∠POQ=30°.