（3）设P（m，3m），Q（a，0）， 3∵OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2 ∴22＋a2＝m2＋(332m－2) 2＋(a－m) 2＋(m) 33整理，得a＝4m?23. 3∴Q（
4m?23，0）. 3
∴OP2＝
421621643m＋. m，OQ2＝m－
39933m＋
PQ2＝
424m－994. 3①当OP＝OQ时，则
421621643m＋ m＝m－
3993整理,得m2－43m＋3＝0，解得m＝23±3． ∴Q1 (23＋4,0)，Q2(23－4,0)．
②当PO＝PQ时，则
42424m＝m－3993m＋
4 3整理得：2 m2＋3m－3＝0，
解得解得m＝3，或m＝－3. 2当m＝3时，Q点与O重合，舍去， 2∴m＝－3. ∴Q3 (－23,0).
③当QO＝QP时， 则
162164443m＋＝m2－m－
993993m＋
4 3整理，得m2－3m＝0. 解得m＝3 ∴Q4 (23,0). 3
综上，当△OPQ为等腰三角形时，点Q的坐标为Q1 (23＋4,0)，Q2(23－4,0)，Q3 (－23,0)，Q4 (23,0). 3
38.（2019·济宁）
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝
3，求直径AB的长． 4
解：∵D是弧AC的中点，∴AD＝CD∴∠DAC＝∠C∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE＝2∠C，∴∠EAD＝∠C，∵∠C＝∠B，∴∠B＝∠EAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°， ∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；
DH393?，∴?，∴AD＝12，在AD4BD43AD3?，∴BD＝16，∵∠ADB＝△BAD中∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝tan∠C＝，∴tan∠B＝
4BD4在△ADH中∠ADH＝90°，DH＝9，∠DAH＝∠C，∴tan∠DAH＝90°，∴AB＝
39.（2019·无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线
AD2?BD2?122?162?20．
BC方向移动，作?PAB关于直线PA的对称?PAB'，设点P的运动时间为t?s?.
（1）若AB=23，①如图2，当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值； ②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由；
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.
DCDB'B'PPCDC''ABABAB
图1图2备用
第28题图
解：
（1）①∵∠B=90°，∴AC=AB2?BC2???232?32?21，∵∠CB?P=∠CBA=90°，∠B?CP=∠BCA，
∴△CB?P∽△CBA，
21?23B?PCB?B?P?，故，解得B?P?27?4.由轴对称可得PB=27?4，?3CBBA23∴t=27?4；
②由已知可得PB=B?P=t，PC=3-t，DA=BC=3，AB=AB?=23，
分三种情况：1°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=3，在△PCB?中，PC2+C
22222
B?=PB?，∴(3)+ (3 - t) =t，解得t=2.
③ ②
③④第28题答图
2°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=33，在△PCB?中PC2+CB?2=PB?2，(33)2+ (t -3) 2 =t2，解得t=6.
3°当∠CPB?=90 °时，易证四边形ABPB?为正方形，PB?=AB=23，∴t=23；
（1） 如图④，四边形ABCD为正方形，t>3时，∵AB=AB?=AD，AM=AM，Rt△MDA≌Rt△B?AM（HL），
∴∠DAM=∠B?AM，
由轴对称可得∠PAB=∠PAB?=2∠DAM+∠PAD，∴∠PAB+∠PAD=2∠DAM+2∠PAD=90°，∴∠PAM=∠DAM+∠PAD=45°.
40.（2019·怀化）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH. （1）计算∠CAD的度数；
（2）连接AE，证明：AE=ME； （3）求证：ME2=BM·BE.
解：（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点， ∴∠COD=
360=72°， 5∴∠CAD=
1∠COD=36°. 2同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°. （2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，
又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°， ∴∠MAE=72°，∠AEB=36°， ∴∠MAE=∠AME=72°， ∴AE=ME. （3）连接AB.
由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE ∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN， ∴
ABBE?，AN=BM， ANAE∴AB·AE=BE·AN， ∵AE=ME， ∴ME2=BM·BE.
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