（3）设P（m，3m），Q（a，0）， 3∵OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2 ∴22＋a2＝m2＋(332m－2) 2＋(a－m) 2＋(m) 33整理，得a＝4m?23. 3∴Q（

4m?23，0）. 3

∴OP2＝

421621643m＋. m，OQ2＝m－

39933m＋

PQ2＝

424m－994. 3①当OP＝OQ时，则

421621643m＋ m＝m－

3993整理,得m2－43m＋3＝0，解得m＝23±3． ∴Q1 (23＋4,0)，Q2(23－4,0)．

②当PO＝PQ时，则

42424m＝m－3993m＋

4 3整理得：2 m2＋3m－3＝0，

解得解得m＝3，或m＝－3. 2当m＝3时，Q点与O重合，舍去， 2∴m＝－3. ∴Q3 (－23,0).

③当QO＝QP时， 则

162164443m＋＝m2－m－

993993m＋

4 3整理，得m2－3m＝0. 解得m＝3 ∴Q4 (23,0). 3

综上，当△OPQ为等腰三角形时，点Q的坐标为Q1 (23＋4,0)，Q2(23－4,0)，Q3 (－23,0)，Q4 (23,0). 3

38.（2019·济宁）

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若DH＝9，tanC＝

3，求直径AB的长． 4

解：∵D是弧AC的中点，∴AD＝CD∴∠DAC＝∠C∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE＝2∠C，∴∠EAD＝∠C，∵∠C＝∠B，∴∠B＝∠EAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°， ∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；

DH393?，∴?，∴AD＝12，在AD4BD43AD3?，∴BD＝16，∵∠ADB＝△BAD中∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝tan∠C＝，∴tan∠B＝

4BD4在△ADH中∠ADH＝90°，DH＝9，∠DAH＝∠C，∴tan∠DAH＝90°，∴AB＝

39.（2019·无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线

AD2?BD2?122?162?20．

BC方向移动，作?PAB关于直线PA的对称?PAB'，设点P的运动时间为t?s?.

（1）若AB=23，①如图2，当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值； ②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由；

（2）当P点不与C点重合时，若直线PB与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.

DCDB'B'PPCDC''ABABAB

图1图2备用

第28题图

解：

（1）①∵∠B=90°，∴AC=AB2?BC2???232?32?21，∵∠CB?P=∠CBA=90°，∠B?CP=∠BCA，

∴△CB?P∽△CBA，

21?23B?PCB?B?P?，故，解得B?P?27?4.由轴对称可得PB=27?4，?3CBBA23∴t=27?4；

②由已知可得PB=B?P=t，PC=3-t，DA=BC=3，AB=AB?=23，

分三种情况：1°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=3，在△PCB?中，PC2+C

22222

B?=PB?，∴(3)+ (3 - t) =t，解得t=2.

③ ②

③④第28题答图

2°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=33，在△PCB?中PC2+CB?2=PB?2，(33)2+ (t -3) 2 =t2，解得t=6.

3°当∠CPB?=90 °时，易证四边形ABPB?为正方形，PB?=AB=23，∴t=23；

（1） 如图④，四边形ABCD为正方形，t>3时，∵AB=AB?=AD，AM=AM，Rt△MDA≌Rt△B?AM（HL），

∴∠DAM=∠B?AM，

由轴对称可得∠PAB=∠PAB?=2∠DAM+∠PAD，∴∠PAB+∠PAD=2∠DAM+2∠PAD=90°，∴∠PAM=∠DAM+∠PAD=45°.

40.（2019·怀化）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH. （1）计算∠CAD的度数；

（2）连接AE，证明：AE=ME； （3）求证：ME2=BM·BE.

解：（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点， ∴∠COD=

360=72°， 5∴∠CAD=

1∠COD=36°. 2同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°. （2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，

又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°， ∴∠MAE=72°，∠AEB=36°， ∴∠MAE=∠AME=72°， ∴AE=ME. （3）连接AB.

由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE ∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN， ∴

ABBE?，AN=BM， ANAE∴AB·AE=BE·AN， ∵AE=ME， ∴ME2=BM·BE.

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