圆内接四边形与四点共圆

思路一：用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。?若连在四边形的三边的中垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。（这三边的中垂线的交点就是圆心）。

产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。 基本模型：

AO=BO=CO=DO ? A、B、C、D四点共圆（O为圆心）

思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。? 要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。

思路三：运用有关性质和定理：

①对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。 产生原因：圆内接四边形的对角互补。 基本模型：

?A??D?180（或?B??D?180） ? A、B、C、D四点共圆

②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。

产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。

方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。

00

?CAB??CDB ? A、B、C、D四点共圆

③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。 产生原因：直径所对的圆周角是直角。

?C??D?900 ? A、B、C、D四点共圆

④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。 产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。 基本模型：

?ECD??B ? A、B、C、D四点共圆

1.如图，已知?ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，?B?60，F在AC上，且

0AE?AF。

证明：B,D,H,E四点共圆： 证明：CE平分?DEF。

2．如图，AC⊥BC，CE⊥AB，CF⊥AD.求证：∠AFE=∠B.

3.已知在凸五边形ABCDE中，?BAE?3?，BC?CD?DE，且?BCD??CDE?180??2?，求证：?BAC??CAD??DAE．

AABEBECD

CD

4、如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。

(1)求证：△ACE≌△DCB；

(2)请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由； (3)求证：∠APC＝∠BPC。