第1章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；

(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ；

B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= .

§1 .2 随机事件的运算

1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

(1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设S?{x:0?x?5},A?{x:1?x?3},B?{x:2??4}：则

（1）A?B? ，（2）AB? ，（3）AB? ， （4）A?B= ，（5）AB= 。

§1 .3 概率的定义和性质

1. 已知P(A?B)?0.8,P(A)?0.5,P(B)?0.6，则

(1) P(AB)? , (2)(P(AB))= , (3)P(A?B)= . 2. 已知P(A)?0.7,P(AB)?0.3, 则P(AB)= .

§1 .4 古典概型

1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,

(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.

2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1 .5 条件概率与乘法公式

1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2, 则P(A?B)? 。

§1 .6 全概率公式

1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个

签，说明两人抽“中‘的概率相同。

2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随

机地取一个球，求取到红球的概率。

§1 .7 贝叶斯公式

1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）

该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

2． 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，

B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

A B L R C D

2. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相

互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案

§1 .1 1：（1）S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}； （2）S?{0,1,2：（1）A?{1,2,3}

3,5}B?{3,4,5,6}；

（2）A?{正正，正反},B?{正正，反反},C?{正正，正反，反正}。 §1 .2 1： (1) ABC；(2) ABC；(3) ABC；(4)A?B?C；(5) AB?AC?BC；

(6) AB?AC?BC 或 ABC?ABC?ABC?ABC；

2： (1)A?B?{x:1?x?4}；(2)AB?{x:2?x?3}；(3)AB?{x:3?x?4}；

（4）A?B?{x:0?x?1或2?x?5} ；（5）AB?{x:1?x?4}。

§1 .3 1： (1) P(AB)=0.3, (2)P(AB)= 0.2, (3) P(A?B) = 0.7. 2：P(AB))=0.4. §1 .4 1：(1)C8C22/C30,(2)(（C22?C8C22?C8C22）/C30,(3)1-(C22?C8C22）/C30.

2： P4/4.

§1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。 §1 .6 1： 设A表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10

设B表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A)

33281010192810101910 =

21822???? 10910910两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。

2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：

p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45

§1 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；

§1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)

= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)

?p2?p2?p4?2p2?p4

2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量

1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X的分布律.

2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。

§2.2 0?1分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y～π(X), 试求： p 0.4 0.6

（1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布

1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算

机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？ 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？

§2.4 随机变量的分布函数

x??1?0?1设随机变量X的分布函数是： F(x) = ?0.5?1?x?1

?1x?1?（1）求 P(X≤0 )； P?0?X?1?；P(X≥1)，(2) 写出X的分布律。

?Ax?2 设随机变量X的分布函数是：F(x) = ?1?x??0x?0x?0, 求（1）常数A, (2) P?1?X?2?.

§2.5 连续型随机变量

?kx0?x?1X1 设连续型随机变量的密度函数为：f(x)??

0其他?（1）求常数k的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形，

（3）用二种方法计算 P(- 0.5

x?1?0?2 设连续型随机变量x?0的分布函数为：F(x) = ?lnx1?x?e

?1x?e?(1)求X的密度函数f(x)，画出f(x)的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).

§2.6 均匀分布和指数分布