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《高等数学》考试大纲

Ⅰ. 考试内容和要求

总体要求：考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学初步和常微分方程初步的基本概念与基本理论，掌握或者熟练掌握上述各部分的基本方法。应理解各部分知识结构及只是的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法，正确地判断和证明，准确地计算；能综合运用所掌握知识分析并解决简单的实际问题。

一、 函数、极限和连续

（一）函数

Ⅰ.考试内容

（1） 函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数。 （2） 函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。 （3） 反函数

（4） 函数的四则运算与复合运算。

（5） 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 （6） 初等函数。 2、考试要求

（1）理解函数的概念，会求函数包括分段函数的定义域、表达式及函数值，并会作出简单的分段函数图像。

（2）掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性定义，会判断所给函数的相关性质。

（3）理解函数у=f（χ）与它的反函数у=f-1（χ）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。

（4）掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。 （5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。 （6）掌握初等函数的概念。

（二）极限

1、考试内容

（1）数列和数列极限的定义。

（2）数列极限的性质：唯一性、有界性、四则运算定理、夹逼定理、单调有界数列极限存在性定理。

（3）函数极限的概念：函数在一点处的极限定义，左、右极限及其与极限的关系，趋于无穷大（χ→∝，χ→﹢∝，χ→﹣∝）时函数极限的定义，函数极限的几何意义。

（4）函数极限的性质：唯一性、有界性、四则运算定理。

（5）无穷小量与无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量

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的性质，两个无穷小量阶的比较。

sinx1（6）两个重要极限： lim?，1lim(1?)x?e。

x?0x??xx2、考试要求

（1）了解极限的概念，掌握函数在一点处的左极限与右极限的概念和存在的充分必要条件。

（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，会进行无穷小量的比较（高阶、低阶、同阶、等价）。

（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

（三）连续

1、考试内容

（1）函数连续的概念：函数在一点连续、左连续和右连续的定义，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类。

（2）函数连续的性质：四则运算连续性、复合函数连续性。

（3）闭区间上连续函数的性质：有界性原理、最大值与最小值原理、介值性定理（含零点定理）。

（4）初等函数的连续性。 2、考试要求

（1）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续的方法，理解函数在一点连续与极限存在之间的关系。

（2）会求函数的间断点并确定其类型（第一类间断点、第二类间断点）。 （3）理解在闭区间上连续函数的性质。

（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，并会利用函数连续性求极限。

二、一元函数微分学

（一）导数与微分

1、考试内容

（1）导数概念：导数、左导数与右导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系。

（2）导数的基本公式。

（3）求导方法：函数的四则运算求导法、复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法、由参数方程所确定的函数的导数求法。 （4）高阶导数的定义，高阶导数的计算。

（5）微分的定义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式不变性。 2、考试要求

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

（2）会求曲线上一点处的切线方程和法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则、反函数的求导法则以及复合函数的求导方法。

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（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法和由参数方程所确定的函数的导数求法。 （5）理解高阶导数的概念，会求函数的二、三阶导数。

（6）理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

（二）中值定理及导数的应用。

1、考试内容

（1）中值定理：罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

（2）洛必达（L’Hospital）法则。 （3）函数单调性的判定法。

（4）函数极值与极值点、最大值与最小值。 （5）曲线的凹凸性、拐点。

（6）函数曲线的水平渐近线及铅垂渐近线。 2、考试要求

（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及其应用，了解柯西中值定理（知道定理的条件及结论）。

0?（2）熟练掌握应用洛必达法则求，，0??，???，1?，00和?0型未定式

0?极限的方法。

（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式。

（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最大值和最小值的方法，并会应用极值方法解应用题。

（5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 （6）会求曲线的水平渐近线及铅垂渐近线方程。

三、一元函数积分学

（一）不定积分

1、考试内容

（1）原函数与不定积分的定义，不定积分的性质。 （2）基本积分公式。

（3）换元积分法：第一换元法（凑微积分法）、第二换元法。 （4）分部积分法。

（5）一些简单有理函数的微积分。 2、考试要求

（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 （2）熟练掌握不定积分的基本公式。

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）

（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。 （5）掌握简单有理函数的不定积分。

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