第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
算，应该是先求出外圆导体内电流密度，再结合内圆筒的电流，求出穿过环路的电流。 解：在电缆的横截面，以截面的轴为圆心，将不同的半径r作圆弧并取其为安培积分回路L，然后，应用安培环路定理求解，可得离轴不同距离处的磁场分布。 (1)当r?a时，B?dl??0l???B=0
?Iii?0 ， B?2?r?0，得
(2)当a?r?b时，同理可得
B?(3)当b?r?c时，有
?0I2?r
?I?(r2?b2)? B2?r??0?I?22??(c?b)??得
r2?b2?B??1??
2?r?c2?b2??0I?(4)当r?c时， B=0
11-21 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题图11-21所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．
分析 用填补法。空间各点磁场可看作半径为R，电流为I1均匀分布
在横截面上的圆柱导体和半径为r电流为?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和．两电流密度相同。
解：载流导体内电流密度为
题图11-21
??I
?(R2?r2)(1) 圆柱轴线上的磁感应强度的大小
电流I1产生的磁感应强度 B1?0 电流?I2产生的磁感应强度
?0I2?0Ir2B2?? 222?a2?aR?r
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第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
合场强
?Ir2B00?B1?B2?2?a(R2?r2)
(2)空心部分轴线上O?点B的大小：
电流I2产生的 B?2?0 电流I1产生的
?2B0Ia1??2?aR2?r2??0Ia2π(R2?r2) 所以
B??B?0Ia01??B2??2?(R2?r2)
11-22 一电子在B?7.0?10-3T的匀强磁场中做圆周运动，圆周半径
r?3.0cm，某时刻电子在A点，速度vv向上，如题图11-21所示。
（1）试画出电子运动的轨道；
（2）求电子速度vv的大小；
（3）求电子动能Ek。
分析：应用运动电荷在匀强磁场中所受洛伦兹力公式并结合牛顿第二定律求解。解：（1）由洛伦兹力
Fr?(?e)vv?Br,
得电子的运动轨迹为由A点出发刚开始向右转弯半径为r的圆形轨道。 （2）由
v2F?evB?mr,得
v?erB1.6?10?19m??0.03?7.0?10?39.1?10?31?3.7?107(m?s?1) （3）E1k?2mv2?12?9.1?10?31?(3.7?107)2=6.2?10?16(J)
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题图11-22
第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
11-23 把2.0keV的一个正电子射入磁感应强度B为0.10Wb?m的均匀磁场内（题图11-22），
?2rvr其速度矢量v与B成89?角，路径成螺旋线，其轴在B的方向.试求这螺旋线运动的周期T、
螺距p和半径r。
r分析：应用洛伦兹力分析带电粒子在均匀磁场中的运动求解。注意分析带电粒子在平行于B的r方向和垂直B的方向上运动的不同特点。
vr解：带电粒子在均匀磁场中运动时，当v与B成?=89?时，其轨迹为螺旋
线。则
2Ek2?2.0?103?1.6?10?197?1v???2.65?10(m?s) ?31m9.11?102?m2??9.11?10?31T???3.68?10?10(s) ?19eB1.6?10?0.10p?vT?2.68?107?cos89??3.56?10?10?1.66?10?4(m)
题图11-23
v?m2.68?107?sin89??9.11?10?31r???1.51?10?3(m) ?19eB1.6?10?0.107?111-24 某瞬间在A点有一质子a以va?10m?s沿题图11-24中所示方向运3?1?4动。相距r?10cm远处的B点有另一质子b以vb?2?10m?s沿图示方
题图11-24
向运动。va,vb,r在同一平面内，求质子b所受的洛伦兹力的大小和方向。
分析：当考察两运动电荷的相互作用时，可从运动电荷B在运动电荷A形成的磁场中运动着手，求得所受磁力的大小和方向。
解：质子A以va运动经过a点的瞬间在b点产生的磁感强度为
B?方向垂直纸面向外。
?0evasin45? 4?r2质子B以vb运动，在经过b的同一瞬间受洛伦兹力为
F?evbB??0e2vavb4πr2sin45??3.6?10?23N
rv方向垂直vb和B组成的平面，满足右手螺旋。
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第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
11-25 如题图11-25所示，一根长直导线载有电流I1?30A，矩形回路载有电流I2?20A，已知a?1.0cm，b?8.0cm,l?12cm.试计算：
（1）作用在回路各边上的安培力； （2）作用在回路上的合力.
分析 （1）对于矩形上、下两段导线由于所处磁场不均匀，所受安培力用定义式积分法求解，对于矩形左右两段竖直导线由于各自所处磁感应强度为定值，可直接由F?BIL来求解，各
rv自受力方向可用右手螺旋沿Idl?B的方向来判定；（2）由于上、下两段导线F1和F2的大小
相等，方向相反，对矩形回路来说，该两力的矢量和为零.而矩形的左右两段导线由于所处磁感强度不等，所受安培力F3和F4大小不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力.
解：(1)由分析可知，上下导线所受安培力大小相等，方向相反。
F1?F2??I2dlBsin???la?b?0I12πxaI2dx??0I1I22πlna?b a左右导线所受安培力大小分别为
F3??0I1I2l2πa
题图11-25
F4??2π?a?b??0I1I2l
线框所受总的安培力F为左、右两边安培力F3和F4之矢量和，故合力的大小为 F?F3?F4??0I1I2l2πa?2π?a?b??0I1I2l?1.28?10?3(N)
合力的方向朝左，指向直导线.
11-26 如题图11-26所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者共面．求三角形线框各边所受的磁力．
分析：根据无限长载流导线所产生磁场的磁感应强度公式，B与r成反比。△ABC三条边中：AB边各点所处磁感应强度相同，可直接代入安培力公式中求解，无需积分；AC和BC边由于各点所处磁感应强度均不同，因此需建立坐标系、取电流元，根据安培力定义式用积分法求解。 解： AB边所受的磁场力
FAB?题图11-26
??AB??I2dl?B
FAB?I2a方向垂直AB向左； AC边所受的磁场力
?0I12πd??0I1I2a2πd
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第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
???CFAC??I2dl?B
AFAC??d?adI2dr?0I1?0I1I2d?a ?ln2?r2?d方向垂直AC向下;
同理BC边所受的磁场力的大小
FBC??因为
d?adI2dl?0I12πr
dl?所以
dr ?cos45FBC??方向垂直BC向上.
d?aa?0I2I1dr?IId?a?012ln
2?rcos45?d2?11-27 载有电流I?20A的长直导线AB旁有一同平面的导线ab，ab长为9cm，通以电流
I1?20A。求当ab垂直AB，a与垂足O点的距离为1cm时，导线ab所受的力，以及对O
点力矩的大小。
分析：本题中各电流元受安培力方向相同，而大小随位置变化（B随位置变化）而变化，故需通过积分求解合力。各电流元受磁力矩方向也相同,大小也随位置变化而变化，导线对O点的磁力矩也需通过积分求解。
解：电流ab中任意电流元受力大小为df?I1Bdx。
f??df???70.1?0II12?x0.01dx??02?II1ln0.1 0.01A I O ?4??10?20?20?ln10?1.84?10?4(N) 2?a I1 b 对O点力矩为
1cm 0.1M??dM??xdf???
?0II12?x0.01xdx
B 题11-27图 ?02?I1I2(0.1?0.01)?7.2?10?6(m?N)
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