第一章 误差
1 问,,22分别作为π的近似值各具有几位有效数字?
7分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π= 592 65… 记x1=,x2=,x3=22.
7由π- x1= 59…= 40…知
11?10?3?|??x1|??10?4 22因而x1具有4位有效数字。
由π- x2= 59…= 59…知
1?10?3?|??x2|?1?10?2
22因而x2具有3位有效数字。
由π-22= 59 … 85…= 26…知
7 1?10?3?|??22|?1?10?2
272因而x3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字,试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a1是1到9之间的数字。
*(x)|? |?r|x?x*|?1?10?n?1?1?10?2?1?5%
|x*|2a12?13 已知近似数的相对误差限为%,问x*至少有几位有效数字?
分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a1是1到9间的数字。
?r*(x)0.3%?3?10001?11?10?1??10?1 22?102?(9?1)2(a1?1)设x*具有n位有效数字,令-n+1=-1,则n=2,从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算,问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。 解 设取n位有效数字,由=…,故a1=9。
?r*(x)|?|x?x*|?1?10?n?1?0.01%?10?4
|x*|2a1解不等式1?10?n?1?10?4知取n=4即可满足要求。
2a15 计算1?1,视已知数为精确值,用4位浮点数计算。
759760-2-2-5
解 1?1? 8×10-0.131 6×10=×10
759760结果只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相对误差的扩大,若通分后再计算:
1?1?11??0.1734?10?5 6759760759?7600.5768?10就得到4位有效数字的结果。 此例说明,在数值计算中,要特别注意两相近数作减法运算时,有效数字常会严重损失,遇到这种情况,一般采取两种办法:第一,应多留几位有效数字;第二,将算式恒等变形,然后再进行计算。例如,当x接近于0,计算1?cosx时,应先把算式变形为
sinx1?cos2x1?cosx ??sinx
sinxsinx(1?cosx)1?cosx再计算。又例如,当x充分大时,应作变换
1?x?x?1
1?x?x1?1?1 xx?1x(x?1)6 计算a?(2?1)6,取2?1.4,采用下列算式计算: (1)
1; (2?1)6(2)99?702; (3)(3?22)3; (4)
1. (3?22)3问哪一个得到的结果最好?
解 显然
(2?1)6(2?1)61a?(2?1)?? 6(2?1)(2?1)66(2?1)6??(2?1)2??(3?22)3?99?702
3(2?1)6?111??36(2?1)?(2?1)2?(3?22)3
所以(1)≡(2)≡(3)≡(4),这4个算式是恒等的,但当取2?1.4计算时,因为(2),
(3)都涉及到两个相近数相减,使有效数字损失,而(1)在分母算式上的乘幂数比算式(4)大,所以算式(4)最好,事实上,当取2?1.4时,有|△x|<,再由f(x)的误差
f(x??x)?f(x)|?|f?(1.4)||?x|也可直接估计出每个算式的误差,显然,算式(4)误差最
小。
具体计算可行: (1)
1?5.2?10?3; 6(2?1)(2)99?702?1.0 (3)(3?22)3?8.0?10?3; (4)
1?5.1?10?3. 3(3?22)比较可得用第(4)个算式所得的结果更接近于a。
299
7 求二次方程x-(10+1)x+10=0的根。
2999
解 由于x-(10+1)x+10=(x-10)(x-1),所以方程的两个根分别为
9
x1=10,x2=1
2
但如果应用一般二次方程ax+bx+c=0的求根公式:
?b?b2?4ac x1,2?
2a由于当遇到b>>4|ac|的情形时,有|b|?b2?4ac,则用上述公式求出的两个根中,总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠,如本例若在能将规格化的数表示到小
91010
数点后8位的计算机上进行计算,则-b=10+1=×10+ 000 0001×10,由于第二项最后两
9
位数“01”在机器上表示不出来,故它在上式的计算中不起作用,即在计算机运算时,-b=10.
通过类似的分析可得
所以,求得的两个根分别为
2
b2?4ac?|b|?109
?b?b2?4ac109?109??109 x1?2a2?b?b2?4ac109?109??0 x2?2a2显然,根x2是严重失真的。
为了求得可靠的结果,可以利用根与系数的关系式:x1x2?c,在计算机上采用如下
a公式:
x1??b?sgn(b)b2?4ac
2a x2?c
ax1其中,sgn(b)是b的符号函数,当b≥0时sgn(b)=1;当b<0时,sgn(b)=-1。显然,上述求根公式避免了相近数相减的可能性。
8 当N充分大时,如何计算
I??分析 函数
N?1N1dx 1?x1的原函数已知,我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分1?x2的值。由于N很大,这样会遇到两个相近的数相减,因此,应采用一些变换公式来避免这种
情况。
解 若用定积分的
Newton-Leibniz公式计算此题,有
?N?1N1?arctan(N?1)?arctanN,则当N充分大时,因为arctan(N+1)和arctanN1?x2非常接近,两者相减会使有效数字严重损失,从而影响计算结果的精度,这在数值计算中是要尽量避免的,但是通过变换计算公式,例如:令tanθ1=N+1, tanθ2=N,则由
1,得 tan(?1??2)?tan?1?tan?2?N?1?N?1?tan?1tan?21?(N?1)N1?(N?1)N ?1??2?arctan(N?1)?arctanN?arctan1
1?(N?1)N就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失,从而得到较精确的结果。所以,当N充分大时,用
?N?1N1?arctan1计算积分的值较好。 21?x1?N?N29 计算积分In??xe01nx?1dx(n?1,2,?.
分析 数值计算中应采用数值稳定的算法,因此在建立算法时,应首先考虑它的稳定性。
解 利用分部积分法,有
?10xnex?1dx??xndex?1?xnex?1|??ex?1nxn?1dx?1?n?xn?1ex?1dx
00001111得递推公式:
In?I?nIn?1 I0?(n?1,2,L) (1)
dx?1?1
e?xe010x?1*时有大小为ε的误差,利用公式(1)计算In,由于初值I0有误差,不妨设求I0的近似值I0即
??I0?? I0则由递推公式(1)得
??I?I0???I1?? I1??I?I0??I?2I??I?2I1?2??I2?2!? I21??I?3I??I?3I2?3?2!??I3?3!? I32??I?4I??I?4I3?4?3!??I4?4!? I43┊
??In?(?1)nn!? In显然初始数据的误差ε是按n!的倍数增长的,误差传播得快,例如当n=10时,10!≈×
??I10|?10!?,这表明I10时已把初始误差ε扩大了很多倍,从而I?的误差已把I1010,|I10106
的真值淹没掉了,计算结果完全失真。
但如果递推公式(1)改成
In?1?1(I?In)(n?k,k?1,?3,2)
n于是,在从后往前计算时,In的误差减少为原来的1,所以,若取n足够大,误并逐步减小,
n显然,计算的结果是可靠的。所以,在构造或选择一种算法时,必须考虑到它的数值稳定性问题,数值不稳定的算法是不能使用的。
10 为了使计算
y?10?3?4?6 x?1(x?1)2(x?1)3的乘除法运算次数尽量地少,应将表达式改写为怎样的形式?
解 设t?1,y?10?(3?(4?6t)t)t. x?1在数值计算中,应注意简化运算步骤,减少运算次数,使计算量尽可能小。 11若x*=是x的具有六位有效数字的近似值,求x的绝对误差限。
12为使70的近似值的相对误差小于,问查开方表时,要取几位有效数字? 13利用四位数学用表求x=1-cos2°的近似值,采用下面等式计算: (1)1-cos2°
2
(2)2sin1° 问哪一个结果较好?
14求方程x-56x+1=0的两个根,使它至少具有四位有效数字(已知783?27.982)。
2
15数列{x}?n?0满足递推公式
xn?10xn?1?1(n?1,2,?)
若取x02?1.41(三位有效数字),问按上述递推公式,从x0计算到x10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
16如果近似值x???(a1?a2?10?1?a3?10?2???an?10?n?1)?10m的相对误差限小于
1?10?n?1,证明:这个数具有n位有效数字。 2(a1?1)