证(2)：假设有一个第一格的三段论以否定判断为小前提。根据规则五，其结论只能是否定判断，于是大项在结论中周延。根据规则三，大项必须在大前提中周延。由于第二格的大前提中大项是谓项，故大前提只能是否定判断。大、小前提都是否定判断的三段论违反规则四，是得不出结论的。由此可见，第一格的三段论不能以否定判断为小前提。规则(2)成立。

证(1)：假设有一个第一格的三段论以特称判断为大前提。由于第一格的大前提是以中项为主项，故中项在大前提中不周延。根据规则二，中项应该在小前提中周延。由于第一格的小前提以中项为谓项，故小前提应为否定判断，违反第一格的特殊规则(2)。由此可见，第一格的三段论不能以特称判断为大前提。规则(1)得证。

根据第一格的规则(1)、(2)，不难判别，第一格的有效式共有六个，它们分别是：

AAA，AAI，AII，EAE，EAO，EIO

例如，前文的三段论中，就是第一格AAA式的三段论。再如

哺乳动物都不是通过腮呼吸的，鲸是哺乳动物，所以，鲸都不是通过腮呼吸的。

令S：“鲸”，M：“哺乳动物”，P：“通过腮呼吸的”，则这个三段论的形式为：

MEP SAM

∴ SEP

它是第一格的EAE式。

第二格的特殊规则有如下两条： (1)大前提必须是全称判断；

(2)两个前提中必须有一个是否定判断。

证(2)：根据规则二，中项在两个前提中至少要周延一次，而由于第二格的三段论的中项在大、小前提中都是谓项，故两个前提中必须有一个是否定判断，规则(2)成立。

证(1)：由规则(2)，根据三段论一般规则五，第二格的三段证必须以否定判断为结论，从而大项在结论中是周延的。根据规则三，大项应该在大前提中周延。由于第二格的三段论的大前提以大项为主项，故大前提必须是全称判断。规则(1)成立。

根据第二条的规则(1)、(2)，可以判定，第二格共有六个有效式，它们是：

AEE，AEO，AOO，EAE，EAO，EIO

例如，前文的三段论(4)是第二格AEE式的三段论。再如：

凡是具有实在意义的语词都是表达概念的，有的语词不是表达概念的，所以，有的

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语词不是具有实在意义的。

令S：“语词”，M：“表达概念的”，P：“具有实在意义的”，则这个三段论的形式为：

PAM SOM

∴ SOP

这是第二格的AOO式。

第三格的特殊规则有如下两条： (1)小前提必须是肯定判断； (2)结论必须是特称判断。

证(1)：假设有一个第三格的三段论以否定判断为小前提。根据三段论规则五，结论应为否定判断。从而大项在结论中周延。根据规则三，大项应在大前提中周延。由于第三格的三段论的大前提以大项为谓项，故大前提应为否定判断。这样，便违反了三段论规则四，假设不能成立。从而，小前提必须是肯定判断。规则(1)得证。

证(2)：由规则(1)，第三格的三段论的小前提必须是肯定判断，肯定判断的谓项不周延，而第三格的小前提的谓项是小项，故小项在前提中不周延。根据三段论规则三，小项在结论中也不能周延，因此，结论只能为特称判断。由此便证明了规则(2)。

根据第三格的规则(1)、(2)，容易判别第三格三段论的有效式有如下六个：

AAI，AII，IAI，EAO，EIO，OAO

例如：

法律是行为规范，而一切法律都是体现统治阶级意志的。所以，有的行为规范是体现统治阶级意志的。

令S：“行为规范”,M：“法律”,P：“体现统治阶级意志的”，这个三段论的形式为：

MAP MAS

∴ SIP

它是第三格的AAl式。前文的三段论(1)、(8)的形式也是第三格的AAI式。

第四格的特殊规则一共有五条：

(1)如果两个前提中有一个是否定判断，则大前提必须是全称判断； (2)如果大前提是肯定判断，则小前提必须是全称判断； (3)如果小前提是肯定判断，则结论必须是特称判断；

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(4)大、小前提都不能是特称否定判断； (5)结论不能是全称肯定判断。

证(1)：假设有一个第四格的三段论的两个前提有一个是否定判断。根据三段论规则五，结论应为否定判断，从而大项在结论中周延。根据三段论规则三，结论应在大前提中周延。由于第四格三段论的大前提是以大项为主项，故大前提必须是全称判断。规则(1)成立。

证(2)：假设有一个第四格的三段论以肯定判断为大前提，则中项在大前提中不周延，因为中项在大前提中是谓项。根据三段论规则二，中项必须在小前提中周延。由于第四格的小前提以中项为主项，故小前提必须是全称判断。规则(2)得证。

证(3)：假设有一个第四格的三段论以肯定判断为小前提，则小项在小前提中不周延，因为小项在小前提中是谓项。根据三段论规则三，小项在结论中也不能周延，从而结论必须是特称判断。规则(3)得证。

证(4)：根据规则(4)，若第四格三段论的前提中有一个是否定判断，则大前提必须是全称判断，故大前提不能是特称否定判断。现假设有一个第四格的三段论以特称否定判断为小前提。根据三段论规则四，大前提必须是肯定判断。由规则(2)小前提必须是全称判断，可见假设不成立，即小前提不能是特称否定判断。规则（4）得证。

证(5)：假设有一个第四格的三段论以全称肯定判断为结论。根据三段论规则五、规则七，大、小前提必须是全称肯定判断。这样，小项在小前提中不周延(因为第四格三段论的小前提是以小项为谓项)而在结论中周延，违反三段论规则三，假设不成立。规则(5)得证。

根据第四格的特殊规则(1)～(5)可以判定，第四格共有如下六个有效式：

AAI，AEE，AEOEAO，EIO，IAI

例如，前文的三段论(13)就是第四格的AAI式。再如：

空气不是商品，凡是商品都是有价值的，所以，有的有价值的不是空气。

令S：“有价值的”,M：“商品”,P：“空气”,则这个三段论的形式为

PEM MAS

∴ SOP

它是第四格的EAO式。

三段论各格的特殊规则是以三段论的一般规则为基础和依据的。我们也可以不运用某一格的特殊规则而直接根据三段论的一般规则来判别一个三段论是否为该格的有效式。例如：

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PAM MAS

∴ SOP

对这个第四格的三段论形式，若根据第四格特殊规则(5)“结论不能是全称肯定判断”，可知道它不是有效式。但我们也可以直接运用三段论的一般规则，指出它违反规则三，犯有“小项不当周延”的逻辑错误。

三段论的四个格的有效式可整理为下表：

第一格： AAA，(AAI)，AII，EAE，(EAO)，EIO 第二格： AEE，(AEO)，AOO， EAE，(EAO)， EIO 第三格： AAI， AII， EAO， EIO， IAI， OAO 第四格： AAI， AEE，(AEO)，EAO， EIO， IAI

上述24个有效式中，括号内的5个有效式称为弱式。弱式都有相对应的有效式，如第一格弱式AAI是与AAA式相对应的，前者与后者的前提完全相同，结论之间则具有差等关系。

从上表可以看到，四个格中，唯有第一格有能得出A、E、I、O四种判断为结论的有效式；第二格的有效式只能得出否定判断为结论；第三格的有效式只能得出特称判断为前提。

对三段论各格的有效式，读者不必予以死记硬背。在判别一个三段论的形式是否为有效式时，我们只需运用三段论的七条一般规则或各格的特殊规则就行了。

四、以单称判断作为前提、结论的三段论

前文讲到，传统逻辑的三段论理论中没有考虑以单称判断作为前提或结论的情形。但是，在另一方面，由于实际思维和交流、传播中大量地运用着包含有单称判断作为前提或结论的三段论推理。因此，在形式逻辑教科书中事实上又容纳了这样的推理。例如：

(1)华罗庚是自学成才的，华罗庚是科学家，所以，有的科学家是自学成才的。 在这样的三段论中，作为大、小前提的单称判断可以作为全称判断处理。原因在于，三段论理论是以周延性为基础的逻辑理论。而从周延性来考虑。单称判断的周延情况是与全称判断的周延情况相同的。上述三段论的形式为

这个M是P P(m) 这个M是S 或 S(m)

∴ SIP ∴ SIP

在现代逻辑中可以证明上述推理形式的有效性。在形式逻辑中，其有效性得到认可，是

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认为，从周延性的角度来考虑，上述推理形式可视为类似于三段论第三格的AAI式，即

MAP MAS

∴ SIP

但是，并非在任何情况下，作为前提或结论出现在三段论中的单称判断都可作为全称判断来处理。例如，下述三段论

(2)鲁迅是《阿Q正传》的作者，鲁迅是《狂人日记》的作者， 所以，有的《狂人日记》的作者是《阿Q正传》的作者。

其形式在形式逻辑中被分析为与前述三段论形式完全相同，即

这个M是P P(m) 这个M是S 或 S(m)

∴ SIP ∴ SIP

但是显然它的结论难以为人所接受。 事实上，上述三段论推理的形式应分析为： m＝p

m＝s

∴ s＝p

即应得出结论“《狂人日记》的作者是《阿Q正传》的作者”。

为了避免分析错误，在形式逻辑中，我们采取如下方式来处理含有单称判断的三段论推理：

1．对于形如P(s)即谓项是一普遍概念的单称判断，在三段论中可作为全称判断来处理；而对于形如s＝p即谓项是一单独概念的单称判断，则不能作为全称判断来处理。

2．如果第三格、第四格的小前提是形如m＝s的单称判断，则其结论只能是单称判断，或者是以s的属概念作为主项的特称判断(此时，所组成的三段论严格说来只能是一种类似于三段论的推理。而且，在小前提中。s应该是以摹状词或“专名＋通名”表达的单独概念；否则，就只能以单称判断为结论)。

3．根据三段论规则一的要求，不能将中项“M”与“这个M”混同，视为同一个概念，如此则犯有“四概念”错误。

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