基于MATLAB数值分析实验报告

班级：072115

姓名：李凯

学号：20111003943

实验二：矩阵与向量运算

实验目的：在MATLAB里，会对矩阵与向量进行加、减、数乘、求逆及矩阵特征值运算，以及矩阵的LU分解。 设A是一个n×n方阵，X是一个n维向量，乘积Y=AX可以看作是n维空间变换。如果能够找到一个标量λ，使得存在一个非零向量X，满足：AX=λX （3.1） 则可以认为线性变换T（X）=AX将X映射为λX，此时，称X是对应于特征值λ的特征向量。改写式（3.1）可以得到线性方程组的标准形式：（A-λI）X=0 （3.2） 式（3.2）表示矩阵（A-λI）和非零向量X的乘积是零向量，式（3.2）有非零解的充分必要条件是矩阵（A-λI）是奇异的，即：det(A-λI)=0

该行列式可以表示为如下形式：

a11 –λ a12 … a1n

a21 a22 –λ … a2n =0 (3.3) … … … … An1 an2 … ann

将式（3.3）中的行列式展开后，可以得到一个n阶多项式，称为特征多项式： f(λ)=det(A-λI)=(-1)n(λn+c1λ

n-1

+c2λ

n-2

+…+cn-1λ+cn) (3.4)

n阶多项式一共有n个根（可以有重根），将每个根λ带入式（3.2），可以得到一个非零解向量。

习题：求下列矩阵的特征多项式的系数和特征值λj：

3 -1 0 A= -1 2 -1

0 -1 3

解：在MATLAB中输入命令： 得到：

A=【3 -1 0；-1 2 -1；0 -1 3】； c=poly(A) roots(c)