第二章 平面向量

1．平面向量的线性运算及运算律

(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即

向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．

加法满足交换律、结合律．

(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．

几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．

(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． 2．向量共线及平面向量基本定理

(1)共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法． 特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使线外任意一点O，有

，或对直

(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量．

由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．

[典例1] 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M、N分别是DA、BC的中点，且＝k，设＝e1，

＝e2，以e1、e2为基底表示向量

、

DCAB

[对点训练]

(3)确定点P在边BC上的位置．

14

1－λ＝μ，λ＝，????53所以?解得?

13??2λ＝1－μ，??μ＝5.

n2－m＝－1，m＝，???5?3所以?解得?

2n5???m＝5，?n＝3.

即＝2，P是边BC上靠近C的三等分点.

若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；

BPPC