第8章 真空中的静电场

8-1 把某一电荷分成q与Q-q两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大库仑斥力，则Q与q有什么关系?

8-2 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q、2q、一4q和2q，它的正中放着一个单位正电荷．求这个电荷受力的大小和方向.

解 各点电荷在正方形中心产生的电场方向如图8-2所示，它们的大小为

方向如图8-2所示，则在正方形中心处的场强为

E的方向指向-4q。该处单位正电荷的受力就等于该点的电场强度E。

8-3 两根无限长的均匀带电直线相互平行，相距为2a，线电荷密度分别为??和??，求每单位长度的带电直线所受的作用力.

解 设带电直线1的线电荷密度为??，带电直线2的线电荷密度为??。可得带电直线1在带电直线2处产生的场强为

在带电直线2上取电荷dq，由场强的定义得该电荷元受的作用力为

带电直线1对带电直线2单位长度上的电荷的作用力为

同理，带电直线2对带电直线1单位长度上的电荷的作用力为

可见，两带电直线相互吸引。

8-4 —无限大带电平面，带有密度为?的面电荷，如图所示.试证明：在离开平面为x处一点的场强有一半是由图中半径为3x的圆内电荷产生的.

解 带电圆圆在轴线上的场强为

8-5 (1)点电荷q位于边长为a的正立方体的中心，通过此立方体的每一面的电通量各是多少?(2)若点电荷移至正立方休的一个顶点上．那么通过每个面的电通量又各是多少?

解 (1)点电荷q位于正立方体的中心，正立方体的六个面对该电荷来说都是等同的。因此通过每个面的电通量相等，且等于总电通量的1／6。对正立方体的某一面，其电通量为

(2)当点电荷移至正立方体的一个顶点上时，设想以此顶点为中心，作边长为2a且与原边平行的大正方体，如图8—5所示。与(1)相同，这个大正方体的每个面上的电通量都相等，且均等于q/6?0。对原正方体而言，只有交于A点的三个面上有电场线穿过，每个面的面积是大正方体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也是大正方体一个面的电通量的1/4，即q/24?0，原正方体的其他不A点相交的三个面上的电通量均为零。

8-6 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，E垂直于地面向下，大小约为100 N／C；在离地面1.5km高的地方，E也是垂直于地面向下，大小约为25N／C.

(1)试计算从地面到此高度的大气中的平均电荷体密度； (2)如果地球上的电荷全部分布在表面，求地面上的电荷面密度.

解 (1)设平均电荷体密度为?，在靠近地表面附近取底面积为?S，高为h高斯柱面(图8—6(a))，根据高斯定理得

(2)设地面的电荷面密度为?．在地表面取底面积为?S，高为h的高斯柱面(图8—6(b))，根据高斯定理得

8-7 一半径为R的带电球，其电荷体密度为???0(1?r/R)，?0为一常量，r为空间某点至球心的距离.试求：(1) 球内、外的场强分布；(2) r为多大时，场强最大?等于多少?

解 由于电荷球对称分都，故电场也球对称分布。利用高斯定理．取半径为r的同心高斯球面。

8-8 如图所示，一个均匀分布的正电荷球层，电荷体密度为?，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2.试求：(1) A点的电势； (2) B点的电势.

解 内电荷的球对称分布，用高斯定理可求出各区域的电场强度E。