2019届高考数学复习平面向量课堂达标25平面向量的数量积与平面向量应用举例文新人教版 下载本文

2k?2xπ?ksin?-?-, 2?34?2

2-

2

因为x∈R,所以f(x)的最大值为则k=1. (2)由(1)知f(x)=所以f(A)=化简得sin?

k=2-1

, 2

2?2xπ?1sin?-?-, 2?34?2

2?2Aπ?1

sin?-?-=0, 2?34?2

?2A-π?=2.

??34?2

ππ2Aπ5π因为

21234122Aππ3π则-=,解得A=. 3444

2b+c-ab+c-40因为cos A=-==,

22bc2bc所以b+c+2bc=40,

则b+c+2bc=40≥2bc+2bc, 所以bc≤

402+2

=20(2-2),

2

22

2

2

2

2

2

2

3π2→→→→→→

则AB·AC=|AB||AC|cos=-bc≥20(1-2),所以AB·AC的最小值为20(1-

422).

[B能力提升练]

→→→→

1.(2018·厦门质检)已知点O,N,P在△ABC所在的平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA→→→→→→→→

+NB+NC=0,PA·PB=PB·PC=PC·PA,则点O,N,P依次是△ABC的( )

A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心

B.重心、外心、内心 D.外心、重心、内心

→→→

[解析] 因为|OA|=|OB|=|OC|,所以点O到三角形的三个顶点的距离相等,所以O→→→→→→→

为三角形ABC的外心;由NA+NB+NC=0,得NA+NB=-NC=CN,由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上,同理可得点N在其他边的中线上,所以点N为三角形ABC的重心;→→→→→→→→→→→→

由PA·PB=PB·PC=PC·PA,得PA·PB-PB·PC=PB·CA=0,则点P在AC边的垂线上,同理可得点P在其他边的垂线上,所以点P为三角形ABC的垂心.

[答案] C

2.(2018·湖南衡阳第三次联考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的→→→→→→

两个三等分点,BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE的值是( )

A.4 7C. 8

B.8 3D. 4

→→→→

[解析] 因为D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,所以BF=BD+DF,CF=→→-BD+DF,

BA=BD+3DF,CA=-BD+3DF.

→→→2→2

所以BF·CF=DF-BD=-1,

→→→→→

BA·CA=9DF2-BD2=4,所以DF2=,DF2=,

→→→→→→又因为BE=BD+2DF,CE=-BD+2DF, →→→2→27

所以BE·CE=4DF-BD=,故选C.

8[答案] C

1→→→→→AB3.已知AB⊥AC,|AB|=,|AC|=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且AP=+

t→

|AB|

→→→→

5→8138

→4AC→→

,则PB·PC的最大值等于______. →|AC|

[解析] 建立如图所示坐标系,

→?1?→?1?则B?,0?,C(0,t),AB=?,0?,AC=(0,t),

tt????

→4AC?1?4

AP=+=t?,0?+(0,t)=(1,4),

→→?t?t|AB||AC|

AB→→?1?∴P(1,4),PB·PC=?-1,-4?·(-t,t-4)

?t?

?1?=17-?+4t?≤17-2

?t?

[答案] 13

1

·4t=13.

t4.(2017·课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相→→→

切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( )

A.3 C.5

[解析] 如图所示,建立平面直角坐标系

B.22 D.2

设A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),P(x,y), 根据等面积公式可得圆的半径r=

2, 5

4→22

即圆C的方程是(x-2)+y=,AP=(x,y-1),

5→

AB=(0,-1),AD=(2,0),若满足AP=λAB+μAD,

??x=2μ即?

?y-1=-λ?

→→→→

x,μ=,λ=1-y,

2

x所以λ+μ=-y+1,设z=-y+1,

22即-y+1-z=0,

2

422

点P(x,y)在圆(x-2)+y=上,

5所以圆心到直线的距离d≤r,即

|2-z|2

≤, 15+14

xx解得1≤z≤3,所以z的最大值是3, 即λ+μ的最大值是3,故选A.

[答案] A

5.(2018·青岛模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又π??点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t)?0≤θ≤?. 2??

→→→→

(1)若AB⊥a,且|AB|=5|OA|,求向量OB;

→→→

(2)若向量AC与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值4时,求OA·OC. →→

[解] (1)由题设知AB=(n-8,t),∵AB⊥a, →→

∴8-n+2t=0.又∵5|OA|=|AB|, ∴5×64=(n-8)+t=5t,得t=±8. 当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8, →→

∴OB=(24,8)或OB=(-8,-8). →

(2)由题设知AC=(ksin θ-8,t), →

∵AC与a共线,∴t=-2ksin θ+16,

2

2

2

tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ

4?232?=-2k?sin θ-?+.

?k?

k4

∵k>4,∴0<<1,

k432

∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值.

kk32π→

由=4,得k=8,此时θ=,OC=(4,8), k6→→

∴OA·OC=(8,0)·(4,8)=32.

[C尖子生专练]

(2018·云南省昆明三中第三次综合测试)已知m=(2cos x,1),n=(cos x,sin 2x+

a),f(x)=m·n.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

?3π?(2)当x∈?0,?时,f(x)的最大值为2,且在此范围内,关于x的方程f(x)=k恰

8??

有2个解,确定a的值,并求k的范围.

[解] (1)f(x)=2cosx+sin 2x+a

π??=cos 2x+sin 2x+a+1=2sin?2x+?+a+1,

4??

2

∴该函数的最小正周期为:T==π.

2ππ?π?

令2x+∈?2kπ-,2kπ+?,k∈Z;

22?4?πππ

2kπ-<2x+<2kπ+ 242

kπ-π

33??∴f(x)的单调增区间为?kπ-π,kπ+π?(k∈Z)

88??33ππ

(2)∵0≤x≤π,0≤2x≤π,≤2x+≤π,

8444π??2x+0≤sin?≤1,∴f(1)最大值为2+a+1=2, 4???∴a=-1.

π??因此,f(x)=2 sin?2x+?,要使f(x)=k

4??

3

8π8

?3π?在x∈?0,?时,恰有两解.

8??

符合图象知,k∈?f?

?

?π??,f???即k∈[1,2) ?8??

∴实数k的取值范围为[1,2).