平面几何中几个重要定理及其证明

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其证明

定理：在?ABC内一点P，该点与?ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是?ABC的顶点，则有

D B F P C A ADBECF DB?EC?FA?1．

E ADS?ADPS?ADC?证明：运用面积比可得DB?S． S?BDP?BDC根据等比定理有

S?ADPS?ADCS?ADC?S?ADPS?APC???S?BDPS?BDCS?BDC?S?BDPS?BPC，

ADS?APCBES?APBCFS?BPC???所以DBS．同理可得，．

ECS?APCFAS?APB?BPCADBECF???1． 三式相乘得

DBECFA注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在?ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、

ADBECF???1，F，且D、E、F均不是?ABC的顶点，若

DBECFA那么直线CD、AE、BF三线共点．

证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有

AD/BECF???1． /DBECFA A D/ D B F P C E ADBECFADAD/???1，所以有?/．由于点D、 因为

DBECFADBDBD/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．

二、梅涅劳斯定理

3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是?ABC的顶点，则有

ADBECF???1．

DBECFAD B E C G A F

证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．

CGCF?因为CG // AB，所以 ————（1） ADFACGEC?因为CG // AB，所以 ————（2） DBBEADBECFDBBECF???1．??由（1）÷（2）可得，即得 DBECFAADECFA注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．

4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明

定理：在?ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边ADBECF???1， AC的延长线上有一点F，若

DBECFA 那么，D、E、F三点共线．

证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有

AD/BECF???1． /DBECFA D/ D B E A C F ADBECFADAD/???1，所以有?/．由于点D、因为

DBECFADBDBD/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．