gx2 (3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用?x代替x，?y代替y，可得 y?. 22v1.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D，速率为v，一艘速率为u?v的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时
Dv2?u2刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为x?；快艇截
u住这条船所需的时间为t?Dvuv?u22。
Y
v D u ? X x 港口
习题1.12图
证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为
?x1?vt ? 和
y?D?1拦截条件为：
?x2?x?ucos??t ?y?usin??t?2?x1?x2 即 ?y?y2?1所以
?vt?x?ucos??t ?D?usin??t?x?D?v?ucos??，
usin?x取最大值的条件为：dx/d??0，由此得到cos??u/v，相应地sin??1?(u/v)2。
因此x的最大值为
Dv2?u2x?
ux取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为
6
t?DDv?。
usin?uv2?u2习题二答案 习题二
2.1 简要回答下列问题：
(1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？
(2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？
(3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？ (4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？ (5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？
(6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？
(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？
(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明. (9)判断下列说法是否正确，并说明理由：
(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒. (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
(10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ (11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形
逐渐扩大？(忽略空气阻力)
2.2 质量为m质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F??kv（k为常数）作用，
t?0时质点的速度为v0，证明：
（1）t时刻的速度为v?v0e?ktm；
?ktm]； （2）由0到t的时间内经过的距离为x?(mv0k)?[1?e（3）停止运动前经过的距离为mv0k。
证明： (1) 由 ma?mvdvdvk?F??kv 分离变量得 ??dt，积分得 dtvmtkvkdv?ktmv?veln??t ，， ??dt0?v0v?0mv0m 7
(2) x?vdt???t0v0e?kt/mdt?mv0(1?e?kt/m) k(3) 质点停止运动时速度为零，即t??，故有x????0v0e?kt/mdt?mv0。 k2.3一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t?0时，物体的速度为零，物体在力F?3?4t(N)(t以s为单位)的作用下运动了3s，求它的速度和加速度. 解. 根据质点动量定理,
?Fdt?mv?mv, ??3?4t?dt?mv
00022??3t?2t??03?3?2?3v???2.7(ms?1)
m10333根据牛顿第二定律，F?ma
a?
F?3?4t?t?33?4?3???1.5(m/s2) mm102.4 一颗子弹由枪口射出时速率为v0 ms-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
，其中t以秒为单位： F?(a?bt)N（a,b为常数）
（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；
（2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。 解：
(1)由题意，子弹到枪口时，有F?(a?bt)?0, 得t?ta ba212a(2)子弹所受的冲量I??(a?bt)dt?at?bt，将t?代入，得I?
02b2bIa2(3)由动量定理可求得子弹的质量 m? ?v02bv0
???2.5 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为r?acos?ti?bsin?tj，求质点
的动量及t?0到t??2?时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。 解：质点的动量为
p?mv?mr?m???asin?ti?bcos?tj?
将t?0和t??2?分别代入上式，得
8
p1?m?bj，p2??m?ai 动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为
I?p2?p1??m?(ai?bj)
2.6 作用在质量为10kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s。
（1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；
（2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和
一个具有初速度?6jm?s的物体，回答这两个问题。 解：(1)若物体原来静止，则
?1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56i[kg?m?s?1]，沿x轴正向，
00t4?v1??p1?5.6i[m?s?1],I1??p1?56i[kg?m?s?1] m?1若物体原来具有初速度v0??6jm?s，则
p0??mv0,p(t)??mv0??Fdt
0t于是 ?p2?p(t)?p0??p1 同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即I?令10t?t?200，解得t?10s。
2.7 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。
L
2?(10?2t)dt?10t?t0t2
S人 S船 习题2.7图 解：由动量守恒 M船V船?m人v人?0
9
又 S船?t?V0t船dt，
s人??v人dt??0tM船m人0V船dt?M船m人S船，
如图，船的长度 L?S船?s人 所以 S船?L3.6??1.2m M船1001?1?50m人即船头相对岸边移动S船?1.2m
2.8 质量m?2kg的质点,从静止出发沿X轴作直线运动，受力F?(12t)i(N)，试求开始3s内该力作的功。
解 A?而
?LFxdx??(12t)dx??(12tvx)dt
L03Fx12tvx?vx0??axdt??dt??tdt?3t2
00m20tt所以
?36?A???12t?3t?dt??36tdt??t4??729(J)
00?4?0323332.9 一地下蓄水池，面积为s?50m，水深度为1.5m，假定水的上表面低于地面的高度是
25.0m，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?
O
h0 y
h1 dy
Y 习题2.9图
解:建坐标如习题2.9图，图中h0表示水面到地面的距离，h1表示水深。水的密度为
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