??103kgm3，对于坐标为y、厚度为dy的一层水，其质量dm??sdy，将此层水抽到
地面需作功
dA?dmgy??sgydy
将蓄水池中的水全部抽到地面需作功
h0?h1h0?h1A??h0dA??h0?sgydy??sg??h0?h1??h02?
??122?1?sg?h12?2h0h1? 21??103?50?9.8??1.52?2?5.0?1.5??4.23?106(J) 22.9一炮弹质量为m，以速度v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其
速率分别为v?2kTm ，v?2Tkm。
证明：设一块的质量为m1，则另一块的质量为m2?km1。利用m1?m2?m，有 m1?mkm， m2? ① k?1k?1又设m1的速度为v1，m2的速度为v2，则有
T?1112m1v12?m2v2?mv2 ② 222m1v1?m2v2?mv [动量守恒] ③
联立①、③解得
v1?kv2?(k?1)v，v1?(k?1)v?kv2 ④
联立④、②解得
2T2T ?(v2?v)2，于是有v2?v?kmkm将其代入④式，有
?2T?v1?(k?1)v?k?v??v???km??2kT m2kT2T,v2?v?。 mkm又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当k?1时只能取 v1?v?2.10一质量为m的子弹射入置于光滑水平面上质量为M并与劲度系数为k的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了L，求子弹射入前的速度v0.
11
M m v0
习题2.10图
解： 子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度v1，由动量守恒，
?m?M?v1?mv0
此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，
11?m?M?v12?kL2 22由两式消去v1，解出v0得 v0?Lk?m?M? m2.11质量m的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从A滑到B。在B处时，物体速度的大小为vB。已知圆的半径为R，求物体从A滑到B的过程中摩擦力所作的功：(1)用功的定义求； (2)用动能定理求；(3)用功能原理求。
A
?
R
f
N
mg B
习题2.11图
解 方法一：当物体滑到与水平成任意?角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为
mgcos??f?mat?m即
dv dtdv dt ?f??mgcos??m注意摩擦力f与位移dr反向，且|dr|?Rd?，因此摩擦力的功为
|dr|dv
00dt?2vB12 ??mgR?cos?d??m?vdv??mgR?mvB002Af????2mgcos?Rd??m?vB 12
方法二： 选m为研究对象，合外力的功为
A??mg?f?N?dr
考虑到N?dr?0，因而
A?Af?mgcos??|dr|?Af?mgR由于动能增量为?Ek???????20cos?d??Af?mgR
12mvB?0，因而按动能定理有 21212，Af??mgR?mvB。 Af?mgR?mvB22
方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以B点为重力势能零点。 初始在A点时，Ep0?mgR、Ek0?0
12mvB 212由功能原理知：Af??E?E1?E0?mv?mgR
2终了在B点时，Ep?0，Ek?经比较可知，用功能原理求最简捷。
2.12 墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为k，物体m与桌面间的摩擦因素为?，若以恒力F将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。 F f? X
习题2.12图
解：物体水平受力如图，其中fk?kx，f???mg。物体到达最远时，v?0。设此时物体的位移为x, 由动能定理有
fkm??F-kx-?mg?dx?0?0
0x即 Fx-12kx-?mgx?0 22?F??mg?
k2解出 x?2?F??mg?1系统的势能为 Ep?kx2?
2k2.13 一双原子分子的势能函数为
13
??r0?12?r0?6?Ep(r)?E0????2???
?r?????r??式中r为二原子间的距离，试证明： ⑴r0为分子势能极小时的原子间距； ⑵分子势能的极小值为?E0； ⑶当Ep(r)?0时，原子间距离为
r062；
d2EP(r)dEP(r)?0时，势能有极小值EP(r)min。由 证明：（1）当?0、2drdr6??r0?12?r012r06?dEP(r)d?r0???E0????2????12E0??13?7??0 drdr?r??r???r??r???r??r?得 ?0???0?
?r??r?所以r?r0，即r0为分子势能取极值时的原子间距。另一方面，
126?r012r06?d2EP(r)?12E0?1314?78? 2drr??r?137?72E0d2EP(r)?12E0?2?2??2?0，所以r?r0时，EP(r)取最小值。 当r?r0时，
dr2r0?r0r0?（2）当r?r0时，EP(r)min6??r?12???r00?E0????2?????E0
r??r0????0??6??r0?12?r0??（3）令EP(r)?E0????2????0，得到
?r?????r??66??r0?12r0?r0???r0??2?0r?，， ?2????????62?r???r????r??
2.14 质量为7.2×10-23kg，速度为6.0×107m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5×107m/s，求：
⑴粒子B的速率及偏转角； ⑵粒子A的偏转角。
v?A
14
? vA ?
? vB习题2.14图
解：两粒子的碰撞满足动量守恒
???mAvA?mAv'A?mBv'B
写成分量式有
mAvA?mAv'Acos??mBv'Bcos?
mAv'Asin??mBv'Bsin?
碰撞是弹性碰撞，动能不变：
11122mAvA?mAv'2?mv'ABB 222利用
mA?7.2?10?23kg， mB?mA?3.6?10?23kg， 2vA?6.0?107m/s，v'A?5.0?107m/s，
可解得
v'B?4.69?107m/s，??54?4'，??22?20'。
2.15 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题2-15图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少？ r0m
M1
M2
15