习题2.15图
解：在只挂重物M1时，小球作圆周运动的向心力为M1g，即
2M1g?mr0?0 ①
挂上M2后，则有
(M1?M2)g?mr???2 ②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．
2222即 r0mv0?r?mv??r0?0?r??? ③
联立①、②、③得
?0?
M1g,mr0???M1g?M1?M2???mr0?M1?2/3,?M1?r????M?M?12?3/2?r0
2.16 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1?8.75?10m时的速率是v1?5.46?10ms4?110，它离太阳最远时的速率是v2?9.08?10ms2?1，这时它离太阳的
距离r2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。）
解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 r1mv1?r2mv2
rv8.75?1010?5.46?10411∴ r2???5.26?1012[m] 2v29.08?10
2.17 查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。
参考文献：
[1]石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，1991年第10卷第10期。 [2]任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，2006年第25卷第2期。 2.18 通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。
参考文献：
[1]高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，2002年第21卷第4期。 [2]高炳坤、李复，“惯性系”考(续)，大学物理，2002年第21卷第5期。
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习题三答案 习题三
3.1简要回答下列问题：
(1) 地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？ 作图说明.
(2) 刚体的转动惯量与那些因素有关？“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？ (3) 平行于z轴的力对z轴的力矩一定为零，垂直于z轴的力对z轴的力矩一定不为零.这种说法正确吗？
(4) 如果刚体转动的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？
(5) 两大小相同、质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。问：(a)如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？(b)如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的力矩大？(c)如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？
(6) 为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能
只与外力矩有关，而与内力矩无关？
(7) 下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：(a) 位矢；(b)位移；(c)速度；(d)动量；(e)角动量；(f)力；(g)力矩.
(8) 做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心并与圆平面垂直的轴上任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？ (9) 一人坐在角速度为?0的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度为?'。如果忽然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为I，飞轮的转动惯量为I'。
3.2质量为m长为l的均质杆，可以绕过B端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支住A端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)绕B点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？
B A ?
习题3.1图
解：(1)绕B点的力矩M由重力产生，设杆的线密度为?，?? M?m，则绕B点的力矩为 l?mg0ml1xdG??gxdm??gx?dx?mgl
002 17
122xdm?x?dx?ml ?0?03M3g角加速度为 ?? ?I2ll3 (2)杆的质心加速度为 a???g
24 杆绕B点的转动惯量为 I?m2l
3.3 如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为I，半径为r。
⑴如物体2与桌面间的摩擦系数为?，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2 (设绳子与滑轮间无相对滑动)；
⑵如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2。 T2 m2
T1 m1
习题3.2图
解：⑴先做受力分析，物体1受到重力m1g和绳的张力T1，对于滑轮，受到张力T1和T2，
对于物体2，在水平方向上受到摩擦力?m2g和张力T2，分别列出方程
m1g?T1?m1a [T1?m1?g?a?] T2??m2g?m2a [T2?m2?a??g?]
?T1?T2?r?M?I??I通过上面三个方程，可分别解出三个未知量
a rm1??m2?gr21???m1r2g??Ig1???m2r2g?Ig???a?，T1?m1，T2?m2 222?m1?m2?r?I?m1?m2?r?I?m1?m2?r?I⑵ 在⑴的解答中，取??0即得
m1gr2m2r2g?Igm1m2r2g， T1?m1，T2?。 a?222?m1?m2?r?I?m1?m2?r?I?m1?m2?r?I3.4 电动机带动一个转动惯量为I=50kg·m2的系统作定轴转动。在0.5s内由静止开始最后达
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到120r/min的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。
解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度?为
??从而力矩为
??120r/min?2?rad/r??8?rad/s2 ?t0.5s?60s/minM?I??50?8??1.257?103kgm2s?2
3.5 一飞轮直径为0.30m，质量为5.00kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由
静止均匀的加速，经0.50s转速达到10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：
⑴飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； ⑵拉力及拉力所作的功；
⑶从拉动后t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。 解：⑴ 飞轮的角加速度为
????10r/s?2?rad/r??125.7rad/s2 ?t0.5s 转过的圈数为
1?10r/s?0.5s?2.5r 212 ⑵ 飞轮的转动惯量为 I?mr， 所以，拉力的大小为
2MI?110.3 F???mr???5??125.7?47.1(N)
rr222 n? 拉力做功为
W?FS?F?n?d?47.1?2.5?3.14?0.3?111(J)
⑶从拉动后t=10s时，轮角速度为
????t??125.7?10?1.257?10(rad/s) 轮边缘上一点的速度为
v????r?1.257?10?0.15?188(m/s) 轮边缘上一点的加速度为
a??r?125.7?0.15?18.8(m/s)。
3.6 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r/min，现要求在5s内使其制动，求制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。 F0.5m0.75m
?A 闸瓦
233d?19
习题3.6图
解：设在飞轮接触点上所需要的压力为F?，则摩擦力为?F?，摩擦力的力矩为?F?制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由mvd，在2d变化到0，所以由 ?Mdt?L?L0有 2ddd ?F?t?m??
222解得F??m?d0.5?785.4N。由杆的平衡条件得 F?F??314.2N。 2?t1.253.7 弹簧、定滑轮和物体的连接如图3.7所示，弹簧的劲度系数为2.0N m-1；定滑轮的转动
惯量是0.5kg m2，半径为0.30m，问当6.0kg质量的物体落下0.40m时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。
习题3.7图
解：当物体落下0.40m时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能， 即
1212Iv2 mgh?kh?mv?， 2222r 将m?6kg，g?9.8kgm/s，h?0.4m，I?0.5kgm，r?0.3m代入，得 v?2.01m/s
3.8 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘的半径为R，转动惯量为J，角速度为?。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。 解：系统的角动量在整个过程中保持不变。
人在盘边时，角动量为 L?I??J?mR? 人走到盘心时角动量为 L?I????J??
22?2??J?mR??
因此 ???2J人在盘边和在盘心时，系统动能分别为
11?J?mR2?2112222? W1?m?R?J?，W2?J???22J222 20