11m2R4222? 系统动能增加 ?W?W2?W1?m?R?22J3.9 在半径为R1，质量为m的静止水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2[R2?R1]的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速度为v，问圆盘将以多大的角速度旋转？ 解：整个体系的角动量保持为零，设人匀速地走动时圆盘的角速度为?，则

2 L?L人?L盘?m?v??R2?R2?11??0 2mR 解得 ???2R2v 22R1?2R23.10 如题3.10图示，转台绕中心竖直轴以角速度?0作匀速转动。转台对该轴的转动惯量m2。现有砂粒以1g/s的速度落到转台，并粘在台面形成一半径r=0.1m的圆。J=5×10-5 kg·

试求砂粒落到转台，使转台角速度变为12?0所花的时间。

习题3.10图 解：要使转台角速度变为12?0，由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系

2的转动惯量加倍才行，即 m沙粒r?J。将J?5?10?5kg?m2和r?0.1m代入得

m沙粒?5?10?3kg

5?10?3kg?5s 所以 t?1g/s3.11 一脉冲星质量为1.5×1030kg，半径为20km。自旋转速为2.1 r/s，并且以1.0×10-15r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。

22mr 512122 转动动能为 W?I??m?r

25解：脉冲星的转动惯量为 I? 21

转动动能的变化率为

dW22d? ?mr?dt5dt42?0.4?1.5?10??2?1030??2.1?2???1.0?10?15?2???1.99?1025J/s

由??d?，???t，得停止自旋所需要的时间为 dt?2.1r/st???2.1?1015s ?152?1.0?10r/s3.12 两滑冰运动员，质量分别为MA=60kg，MB=70kg，它们的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为1.5m。求该瞬时：⑴系统的总角动量；⑵系统的角速度；⑶两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒，为什么？

解：⑴设两滑冰运动员拉手后，两人相距为s，两人与质心距离分别为rA和rB，则 rA?MBMAs ， rB?s

MA?MBMA?MB 两人拉手前系统总角动量为

L?LA?LB?MAVArA?MBVBrB?MAMB?VA?VB?s?630kgm2/s

MA?MB ⑵设两人拉手后系统的角速度为?，由于两人拉手后系统角动量不变

22 L?MArA??MBrB?

所以， ??VA?VBL??8.67rad/s 2sMArA?MBrB2 ⑶两人拉手前总动能为： W1?11MAVA2?MBVB2?2730J 22 拉手后，由于整个体系的动量保持为零，所以体系动能为 W2?111MAMB22?VA?VB?2?2730J MArA??MBrB2?2?222MA?MB所以体系动能保持守恒。可以算出，当且仅当MAVA?MBVB时，体系能量守恒，否则能量会减小，且

??W?W1?W2?1?MAVA?MBVB?2

2?MA?MB?3.13一长l=0.40m的均匀木棒，质量M=1.00kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时 棒自然地竖直悬垂。现有质量m=8g的子弹以v=200m/s的速率从A点与O点的距离为34l，如图。求：⑴棒开始运动时的角速度；⑵棒的最大偏转角。 ?

22

习题3.13图

2?1mvl?0.48kgms 解：系统绕杆的悬挂点的角动量为 L?3434

129Ml?ml2?0.054kgm2 316L所以 ???8.88rad/s

I子弹射入后，整个系统的转动惯量为 I?⑵子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为

2I??2.13J W动?12 当杆转至最大偏转角?时，系统动能为零，势能的增加量为

3 ?W势?1 2Mgl?1?cos???4mgl?1?cos??? 由机械能守恒，W动??W势 得??94.24

3.14 通过查阅文献，探讨计算刚体转动惯量的简化方法，写成小论文。

参考文献：周海英、陈浩、张晓伟，巧算一类刚体的转动惯量，大学物理，2005年

第24卷第2期。

3.15 通过上网搜寻，查找对称陀螺规则进动在生活、生产中的应用事例，并进行分类。

23

习题四参考解答

4.1 惯性系K'相对惯性系K以速度u运动。当它们的坐标原点O与O重合时，t?t?0。

在惯性系K'中一质点作匀速率圆周运动，轨道方程为

2 ?x????y???a，z??0，

22'' 试证：在惯性系K中的观测者观测到该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度u运动。 提示：在惯性系K中的观测者观测到该质点的轨道方程为

(x?ut)2y2 2?2?1。 2a(1??)a证明：根据洛仑兹坐标变换关系 x??x?ut1??2, y??y, z??z

(x?ut)222代入原方程中，得到 ?y?a21??(x?ut)2y2化简得 2??1

a(1??2)a2所以，在K系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度u运动。

4.2 一观测者测得运动着的米尺长0.5m，问此米尺以多大的速度接近观测者？ 解：由相对论长度缩短关系 L?L01??v/c?

2得到 v?c1??L/L0??3.0?10?1??1/2??2.6?10m/s

2828

4.3 如题图4.3所示，在K系的O?X?Y?平面内放置一固有长度为?0的细杆，该细杆与x?'轴的夹角为??。设K系相对于K系沿x轴正向以速率u运动，试求在K系中测得的细杆的长度?和细杆与x轴的夹角?。 Y Y?

''?? O O X，X?

题图4.3

??x??l0cos??解：细杆在K?系中的两个坐标上的投影分别为 ?

????y?l0sin?

24

细杆在K系中的两个坐标上的投影分别为

22???x?1??u/c??x??l01??u/c?cos?? ?

???y??y??l0sin??在K系中细杆的长度为

l??x2??y2?l01??u/c?cos2???sin2???l01??ucos??/c?

22??与X轴正向夹角?为 ??arctan

??ytg???arctan??22?x?1?u/c?? ??4.4 一飞船以9?10ms的速率相对于地面[假设地面惯性系]匀速飞行。若飞船上的钟走

了5s的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？ 解：根据相对论中时间延长关系 T?3?1T01?(v/c)2

代入数据，可得 T?

51?[9?10/(3?10)]382?5.000000002s

4.5 已知?介子束的速度为0.73c[c为真空中的光速]，其固有平均寿命为2.5?10s，

在实验室中看来，?介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？ 解：根据相对论中时间延长关系 T????8T01?(v/c)2

代入数据，可得 T?2.5?10?81?0.7328?3.658?10?8s

?8因此 S?vT?0.73?3?10?3.658?10

?8.01m

4.6 惯性系K?相对另一惯性系K沿x轴作匀速直线运动，在惯性系K中观测到两个事件

同时发生x轴上，且其间距是1m，在K?系观测到这两个事件的空间间距是2m，求K?系中测得的这两个事件的时间间隔。 解：由相对论的同时性的两个等价关系

?t??u?x?v/c2 (1) ?t???x??v/c2 (2)

联立两式得到

u?x??x? ? u?代入(2)式中得到

?x?1?x? ? ? v?c1?(?x/?x?)2 ??x1?(v/c)2?x 25